절댓값 — 정의와 성질

절댓값은 수직선에서 $0$으로부터의 거리를 뜻합니다. 실수에서 $|x|$는 항상 $0$ 이상입니다.

그래서 $|5| = 5$이고 $|-5| = 5$입니다. 두 수는 $0$의 서로 반대편에 있지만, $0$에서 같은 거리에 있습니다.

절댓값의 정의

실수 $x$에 대하여,

$$|x| = \begin{cases} x, & x \ge 0 \\ -x, & x < 0 \end{cases}$$

이것은 절댓값이 "모든 것을 양수로 만든다"는 뜻이 아닙니다. $0$ 이상인 수는 그대로 두고, 음수인 수는 부호를 바꿉니다.

거리를 떠올려 보세요

가장 좋은 이해 방법은 거리입니다. $|x|$를 보면 " $x$에서 $0$까지의 거리"라고 생각하세요.

같은 생각으로 $|a-b|$ 같은 식도 설명할 수 있습니다. 이것은 수직선에서 $a$와 $b$ 사이의 거리입니다.

예를 들어,

$$|2 - 7| = |-5| = 5$$

이므로 $2$와 $7$ 사이의 거리는 $5$입니다.

절댓값의 핵심 성질

다음은 가장 자주 쓰는 성질들입니다.

1. 모든 실수 $x$에 대하여 $|x| \ge 0$.
2. $|x| = 0$인 경우는 오직 $x = 0$일 때뿐입니다.
3. $|-x| = |x|$.
4. 실수 $a$, $b$에 대하여 $|ab| = |a||b|$.
5. $b \ne 0$이면 $\left|\frac{a}{b}\right| = \frac{|a|}{|b|}$.

마지막 성질에서 $b \ne 0$이라는 조건은 중요합니다. $0$으로 나누기는 정의되지 않기 때문입니다.

예제: $|x - 3| = 5$ 풀기

이 방정식은 $3$에서 거리가 $5$인 수를 묻고 있습니다.

어떤 수가 $3$의 오른쪽으로 $5$만큼 떨어져 있다면,

$$x - 3 = 5$$

이므로

$$x = 8$$

어떤 수가 $3$의 왼쪽으로 $5$만큼 떨어져 있다면,

$$x - 3 = -5$$

이므로

$$x = -2$$

따라서 해는

$$x = 8 \quad \text{or} \quad x = -2$$

입니다.

이렇게 두 경우로 나누는 생각이 가장 중요한 패턴입니다. $|u| = k$이고 $k > 0$이면 $u = k$와 $u = -k$를 모두 풀어야 합니다.

절댓값에서 자주 하는 실수

흔한 실수 하나는 $|x|$가 음수가 될 수 있다고 생각하는 것입니다. 그럴 수 없습니다. 실수에서 절댓값은 항상 $0$ 이상입니다.

또 다른 흔한 실수는 한 경우만 푸는 것입니다. 위 예제에서 $x = 8$에서 멈추면, $3$에서 역시 $5$만큼 떨어진 또 다른 점을 놓치게 됩니다.

학생들은 $|-x|$와 $-|x|$를 헷갈리기도 합니다. 둘은 같지 않습니다. 실제로 $|-x| = |x|$이지만, $-|x|$는 $0$이거나 음수입니다.

절댓값은 언제 쓰일까요?

절댓값은 방향보다 크기가 더 중요할 때 나타납니다.

수직선에서의 거리, 목표값으로부터의 오차나 편차, 방정식과 부등식, 그리고 크기만 남겨야 하는 공식에서 볼 수 있습니다. 더 나아가 좌표기하, 미적분, 복소수에서도 등장하지만, 정확한 의미는 상황에 따라 달라집니다.

$|u| = k$ 꼴의 방정식 빠르게 확인하기

$|u| = k$ 같은 방정식을 보면 먼저 오른쪽을 확인하세요.

$k < 0$이면 절댓값이 음수가 될 수 없으므로 실수해가 없습니다. $k = 0$이면 절댓값 안의 식이 반드시 $0$이어야 합니다. $k > 0$이면 두 경우를 생각해야 하며, 두 경우가 같은 값으로 이어지는 특별한 경우가 아니라면 보통 해는 두 개입니다.

비슷한 절댓값 문제를 풀어 보세요

$|x + 4| = 9$를 풀어 보세요. 이것을 "$-4$에서 거리가 $9$이다"라고 읽고, 거기에 맞는 두 경우를 세워 보세요. 다 풀고 나면 두 답을 원래 방정식에 다시 대입해 확인해 보세요.