삼각형의 종류 — 정삼각형, 이등변삼각형, 부등변삼각형 등

삼각형의 주요 종류는 변의 길이 또는 각의 크기를 기준으로 나뉩니다. 변을 기준으로 하면 정삼각형, 이등변삼각형, 부등변삼각형이 있고, 각을 기준으로 하면 예각삼각형, 직각삼각형, 둔각삼각형이 있습니다.

하나의 삼각형은 보통 각 기준에서 하나씩 이름을 가집니다. 예를 들어 어떤 삼각형은 이등변삼각형이면서 둔각삼각형일 수 있고, 부등변삼각형이면서 직각삼각형일 수도 있습니다. 이것이 학생들이 "삼각형의 종류"를 찾을 때 가장 중요하게 알아야 할 핵심입니다.

변의 길이에 따른 삼각형의 종류

정삼각형

정삼각형은 세 변의 길이가 모두 같습니다. 유클리드 기하학에서는 이것이 세 각의 크기도 모두 같다는 뜻이므로, 각의 크기는 각각 $60^\circ$입니다.

세 각이 모두 $90^\circ$보다 작기 때문에, 모든 정삼각형은 예각삼각형이기도 합니다.

이등변삼각형

이등변삼각형은 적어도 두 변의 길이가 같습니다. 그와 같은 두 변에 마주 보는 각의 크기도 서로 같습니다.

이등변삼각형이 반드시 예각삼각형일 필요는 없습니다. 각의 크기에 따라 예각삼각형, 직각삼각형, 둔각삼각형이 될 수 있습니다.

부등변삼각형

부등변삼각형은 세 변의 길이가 모두 다릅니다. 유클리드 기하학에서는 세 각의 크기도 모두 서로 다릅니다.

이등변삼각형과 마찬가지로, 부등변삼각형도 예각삼각형, 직각삼각형, 둔각삼각형이 될 수 있습니다.

각의 크기에 따른 삼각형의 종류

예각삼각형

예각삼각형은 세 각이 모두 $90^\circ$보다 작은 삼각형입니다.

직각삼각형

직각삼각형은 한 각이 정확히 $90^\circ$인 삼각형입니다.

둔각삼각형

둔각삼각형은 한 각이 $90^\circ$보다 큰 삼각형입니다. 삼각형의 내각의 합은 $180^\circ$이므로, 둔각은 하나만 있을 수 있습니다.

변의 길이로 삼각형을 분류하는 방법

세 변의 길이만 알고 있다면, 먼저 그 길이들로 실제 삼각형을 만들 수 있는지 확인해야 합니다. 삼각형의 두 변의 길이의 합은 나머지 한 변의 길이보다 커야 한다는 것이 삼각부등식입니다.

그다음 가장 긴 변을 찾아 $c$라고 둡니다. 나머지 두 변에 대해 $c^2$와 $a^2 + b^2$를 비교합니다.

$$\text{If } c^2 = a^2 + b^2, \text{ the triangle is right.}$$ $$\text{If } c^2 < a^2 + b^2, \text{ the triangle is acute.}$$ $$\text{If } c^2 > a^2 + b^2, \text{ the triangle is obtuse.}$$

이 비교는 변의 길이들이 먼저 삼각부등식을 만족한 뒤에만 사용할 수 있습니다.

예제: $5$, $5$, $8$ 분류하기

어떤 삼각형의 세 변의 길이가 $5$, $5$, $8$이라고 해 봅시다.

먼저 삼각형이 성립하는지 확인합니다:

$$5 + 5 > 8$$

따라서 이 길이들은 실제로 삼각형을 이룹니다. 다음으로 변을 기준으로 분류합니다. 두 변의 길이가 같으므로 이 삼각형은 이등변삼각형입니다.

이제 각을 기준으로 분류합니다. 가장 긴 변은 $8$이므로 다음을 비교합니다:

$$8^2 = 64$$

그리고

$$5^2 + 5^2 = 25 + 25 = 50$$

$64 > 50$이므로 이 삼각형은 둔각삼각형입니다.

따라서 전체 분류는 이등변 둔각삼각형입니다.

이 예제는 왜 두 분류 체계를 구분해야 하는지 잘 보여 줍니다. "이등변"은 변의 성질을 설명하고, "둔각"은 각의 성질을 설명합니다.

삼각형의 종류를 말할 때 흔한 실수

1. 정삼각형, 이등변삼각형, 부등변삼각형을 예각삼각형, 직각삼각형, 둔각삼각형과 같은 종류의 이름이라고 생각하는 것.
2. 정삼각형이 이등변삼각형에도 포함되는지는 사용하는 기준에 따라 달라진다는 점을 잊는 것. 많은 학교에서는 분류할 때 정삼각형을 따로 구분합니다.
3. 세 길이가 실제로 삼각형을 만들 수 있는지 확인하기 전에 부등변삼각형이라고 부르는 것.
4. 이등변삼각형은 항상 예각삼각형이라고 가정하는 것. 그렇지 않습니다.
5. 가장 긴 변을 먼저 찾지 않고 변의 길이에 피타고라스 비교를 적용하는 것.

이런 삼각형 분류가 유용한 때

삼각형의 종류는 기하, 삼각법, 그리고 여러 도형 문제에서 자주 등장합니다. 어떤 분류인지 알면 어떤 성질이나 풀이 요령이 가장 유용한지 판단하는 데 도움이 됩니다.

예를 들어 직각삼각형이면 피타고라스 정리를 바로 사용할 수 있습니다. 이등변삼각형이면 같은 각에 대한 대칭 성질을 활용할 수 있습니다. 부등변삼각형은 같은 변을 이용한 간단한 성질이 없기 때문에 보통 더 일반적인 도구가 필요합니다.

비슷한 문제를 풀어 보세요

변의 길이 $6$, $8$, $10$을 분류해 보세요. 먼저 변의 종류를 정하고, 그다음 제곱 비교를 사용해 각의 종류를 판단하세요. 그 후 가장 긴 변을 $11$로 바꾸었을 때 분류의 어느 부분이 달라지는지도 확인해 보세요.