외각 — 외각 정리와 외각의 합

외각은 도형의 한 변을 연장할 때 도형 바깥쪽에 생기는 각입니다. 핵심 사실은 간단합니다. 삼각형에서는 외각의 크기가 서로 떨어진 두 내각의 합과 같고, 모든 다각형에서는 각 꼭짓점에서 외각 하나씩을 같은 방향으로 재면 그 합이 $360^\circ$입니다.

하나만 기억해야 한다면 이것을 기억하세요. 내각과 그에 인접한 외각의 합은 항상 $180^\circ$입니다.

외각의 뜻

다각형에서 한 변을 꼭짓점 너머로 연장해 보세요. 그 연장선과 다음 변이 이루는 각이 외각입니다.

이 외각은 같은 꼭짓점의 내각과 나란히 붙어 있으므로, 두 각은 일직선을 이룹니다.

$$\text{interior angle} + \text{adjacent exterior angle} = 180^\circ$$

이 관계는 내각과 외각을 서로 바꿔 구할 때 가장 빠른 방법인 경우가 많습니다.

삼각형의 외각 정리는 어떻게 작동할까

삼각형에서는 외각의 크기가 그 외각과 붙어 있지 않은 두 내각의 합과 같습니다. 이 두 각을 원격내각이라고 합니다.

원격내각이 $a$와 $b$이고 외각이 $e$라면,

$$e = a + b$$

이 정리는 오직 두 원격내각에만 적용됩니다. 외각과 바로 붙어 있는 내각은 이 정리에 포함되지 않습니다.

다각형의 외각의 합이 $360^\circ$인 이유

다각형의 각 꼭짓점에서 외각 하나씩을 같은 회전 방향으로 재면, 전체 합은 항상

$$360^\circ$$

입니다.

이 사실은 삼각형, 사각형, 오각형, 그리고 더 많은 변을 가진 다각형에도 모두 성립합니다. 이를 이해하는 좋은 방법은 도형의 둘레를 따라 걸어 보는 것입니다. 외각은 여러분이 얼마나 방향을 꺾는지를 나타내고, 한 바퀴를 돌면 처음 방향으로 돌아오므로 전체 회전량은 한 바퀴인 $360^\circ$가 됩니다.

정다각형에서는 모든 외각의 크기가 같으므로, 각 외각의 크기는

$$\frac{360^\circ}{n}$$

입니다. 여기서 $n$은 변의 개수입니다.

풀이 예시: 삼각형의 외각 정리 사용하기

삼각형에서 두 원격내각의 크기가 $48^\circ$와 $67^\circ$입니다. 세 번째 꼭짓점의 외각을 구해 봅시다.

정리를 바로 적용하면,

$$e = 48^\circ + 67^\circ = 115^\circ$$

따라서 외각의 크기는 $115^\circ$입니다.

그에 인접한 내각도 구하고 싶다면, 일직선 관계를 사용하면 됩니다.

$$\text{adjacent interior angle} = 180^\circ - 115^\circ = 65^\circ$$

이 예시는 가장 자주 쓰는 두 가지 방법을 보여 줍니다.

1. 두 원격내각을 더해 외각을 구합니다.
2. 문제에서 인접한 내각도 묻는다면 $180^\circ$에서 빼서 구합니다.

정다각형에서는 과정이 다릅니다. 먼저 $360^\circ / n$으로 외각 하나의 크기를 구한 뒤, 내각이 필요하면 $180^\circ$에서 빼면 됩니다.

외각에서 자주 하는 실수

삼각형 정리에서 잘못된 각 사용하기

삼각형에서는 외각의 크기가 두 원격내각의 합과 같습니다. 바로 옆의 내각과 같은 것이 아닙니다.

한 꼭짓점에서 외각을 여러 개 더하기

$360^\circ$ 규칙은 꼭짓점마다 외각 하나씩만 사용할 때 성립합니다. 같은 꼭짓점에서 바깥쪽 각을 여러 개 세거나 서로 다른 외각을 섞으면 합이 정리와 맞지 않게 됩니다.

방향 조건 무시하기

다각형에서는 각 꼭짓점에서 외각 하나씩을 잡고, 도형을 따라 이동하면서 같은 회전 방향으로 재야 합니다. 그래야 전체 합이 한 바퀴 회전을 나타내게 됩니다.

모든 다각형의 외각이 같다고 생각하기

외각의 크기가 모두 같은 것은 정다각형뿐입니다. 불규칙한 다각형도 외각의 총합은 $360^\circ$이지만, 각각의 외각 크기는 서로 다를 수 있습니다.

외각은 언제 사용할까

외각은 삼각형 증명, 다각형의 각 문제, 정다각형 문제에서 자주 등장합니다. 특히 도형 안의 모든 각을 먼저 다 구하지 않고도 미지의 각을 빠르게 찾아야 할 때 매우 유용합니다.

또한 외각은 기하와 회전 개념을 연결해 줍니다. 그래서 다각형의 외각의 합은 변하지 않고 기억하기도 쉽습니다.

비슷한 문제에 도전해 보기

다음에는 정십각형을 생각해 보세요. 먼저 $360^\circ / 10$으로 외각 하나의 크기를 구한 뒤, 그에 인접한 내각을 구해 보세요.

풀이 과정을 단계별로 확인하고 싶다면, 다 푼 뒤 풀이 도구와 비교해 보세요. 외각의 합을 써야 하는 순간과 일직선 관계를 써야 하는 순간을 올바르게 잡았는지 확인할 수 있습니다.