삼각형의 각 — 내각의 합 180°와 각에 따른 종류

유클리드 기하에서 삼각형의 내각의 합은 $180^\circ$입니다. 내각 두 개를 알고 있다면, 그 합을 $180^\circ$에서 빼서 나머지 한 각을 구할 수 있습니다. 이 사실은 삼각형이 예각삼각형인지, 직각삼각형인지, 둔각삼각형인지 판단할 때도 도움이 됩니다.

내각이 $A$, $B$, $C$라면,

$$A + B + C = 180^\circ$$

이 식은 일반적인 평면기하에서 성립합니다. 구 위에 그린 삼각형처럼 비유클리드 기하에서는 내각의 합이 반드시 $180^\circ$일 필요는 없습니다.

삼각형의 내각의 합이 180도인 이유

삼각형에는 꼭짓점마다 하나씩, 모두 세 개의 내각이 있습니다. 유클리드 기하에서는 이 세 각의 합이 항상 같은 값, 즉 일직선각인 $180^\circ$가 됩니다.

이 규칙을 사용할 때는 보통 완전한 증명까지 알 필요는 없습니다. 중요한 점은 내각 두 개만 알면 세 번째 각은 하나로 정해진다는 것입니다.

$$C = 180^\circ - (A + B)$$

삼각형에서 빠진 각 구하는 법

내각의 합 규칙은 두 단계로 빠르게 적용할 수 있습니다.

먼저 알고 있는 두 내각을 더합니다.

그다음 그 합을 $180^\circ$에서 뺍니다.

풀이 예시: 세 번째 각 구하기

어떤 삼각형의 두 각이 $47^\circ$와 $68^\circ$라고 합시다. 세 번째 각을 구하고, 각에 따라 삼각형의 종류도 말해 봅시다.

먼저 알고 있는 각을 더합니다.

$$47^\circ + 68^\circ = 115^\circ$$

이제 $180^\circ$에서 뺍니다.

$$180^\circ - 115^\circ = 65^\circ$$

따라서 세 번째 각은 $65^\circ$입니다. 전체 각은 $47^\circ$, $68^\circ$, $65^\circ$이므로 세 각이 모두 $90^\circ$보다 작습니다. 따라서 이 삼각형은 예각삼각형입니다.

각에 따른 삼각형의 종류

예각삼각형

세 내각이 모두 $90^\circ$보다 작습니다.

직각삼각형

한 내각이 정확히 $90^\circ$입니다.

둔각삼각형

한 내각이 $90^\circ$보다 큽니다.

전체 합이 $180^\circ$이므로, 삼각형에는 직각이 최대 하나만 있을 수 있고 둔각도 최대 하나만 있을 수 있습니다.

삼각형의 각에서 자주 하는 실수

유클리드 기하가 아닌 곳에 규칙 적용하기

$180^\circ$ 규칙은 일반적인 평면기하에서 쓰는 규칙입니다. 학교 문제의 대부분은 이 경우에 해당하지만, 문제가 평평한 평면 위 상황이 아닐 때는 조건을 확인해야 합니다.

내각과 외각을 혼동하기

삼각형의 내각의 합 규칙은 세 개의 내각에 적용합니다. 변을 연장해서 생기는 바깥쪽 각인 외각에는 그대로 적용하지 않습니다.

그림만 보고 분류하기

스케치는 실제와 다르게 보일 수 있습니다. 둔각처럼 보이는 삼각형이 실제로는 아닐 수도 있으므로, 그림이 아니라 각의 크기로 분류해야 합니다.

도 단위를 빼먹기

문제가 도 단위를 사용한다면, 각의 크기를 나타낼 때 도 기호를 함께 써 두는 것이 좋습니다. 그래야 어떤 단위의 각도인지 분명해집니다.

실수를 잡아내는 빠른 확인법

정삼각형에서는 세 각이 모두 같으므로, 각의 크기는 각각 $60^\circ$입니다.

이등변삼각형에서는 길이가 같은 두 변에 마주 보는 각의 크기가 같습니다. 그래서 $180^\circ$를 적용하기 전에 사용할 수 있는 관계가 하나 더 생깁니다.

이 사실들은 답이 이상해 보일 때 빠르게 점검하는 데 유용합니다.

삼각형의 내각의 합 규칙이 유용한 때

내각의 합 규칙은 기초 기하, 삼각형 증명, 작도 문제, 삼각비 설정에서 자주 등장합니다. 또한 이등변삼각형, 직각삼각형, 합동인 삼각형, 닮은 삼각형에 대한 더 구체적인 성질을 쓰기 전에 첫 단계로 자주 사용됩니다.

답이 말이 되는지 확인할 때도 도움이 됩니다. 일반적인 평면기하 문제에서 세 내각의 합이 $180^\circ$가 되지 않는다면, 앞선 과정 어딘가에서 실수가 있었던 것입니다.

비슷한 문제를 풀어 보세요

각이 $35^\circ$와 $90^\circ$인 삼각형을 생각해 보세요. 세 번째 각을 구한 뒤, 그 삼각형이 예각삼각형인지, 직각삼각형인지, 둔각삼각형인지 판단해 보세요.

직접 푼 뒤 확인하고 싶다면, 풀이 과정을 솔버와 비교하고 세 내각의 합이 여전히 $180^\circ$인지 점검해 보세요.