三角恒等式：基本一覧・証明の考え方・例題

三角恒等式とは、$\sin$、$\cos$、$\tan$ などの三角関数を含み、両辺が定義されるすべての角で成り立つ等式のことです。代数、数学II・数学B、微積分の初歩で使う標準的な三角恒等式を探しているなら、基本となるのは逆数、商、ピタゴラス、偶奇、余関数、加法・減法、倍角、半角の恒等式です。

最も覚えやすい方法は、目的ごとにまとめることです。あるものは1つの三角関数を別の関数で書き換え、あるものは $\sin \theta$ と $\cos \theta$ を結びつけ、またあるものは角を $\theta$ から $2\theta$ や $\theta/2$ に変えます。

何が三角恒等式なのか

恒等式は、その定義域にあるすべての角で成り立つ等式です。たとえば、

$$\sin^2 \theta + \cos^2 \theta = 1$$

は、すべての $\theta$ で成り立つので恒等式です。

一方で、

$$\sin \theta = \frac{1}{2}$$

は恒等式ではありません。成り立つのは特定の角だけです。

定義域の条件は重要です。たとえば、

$$\tan \theta = \frac{\sin \theta}{\cos \theta}$$

が成り立つのは $\cos \theta \neq 0$ のときだけです。

基本的な三角恒等式の一覧

逆数の恒等式

$$\csc \theta = \frac{1}{\sin \theta}, \qquad \sec \theta = \frac{1}{\cos \theta}, \qquad \cot \theta = \frac{1}{\tan \theta}$$

どの式でも、分母は 0 であってはいけません。

商の恒等式

$$\tan \theta = \frac{\sin \theta}{\cos \theta}, \qquad \cot \theta = \frac{\cos \theta}{\sin \theta}$$

これらは、すべてを $\sin$ と $\cos$ で表し直せるので、式の簡単化で最初の一歩になることがよくあります。

ピタゴラスの恒等式

$$\sin^2 \theta + \cos^2 \theta = 1$$ $$1 + \tan^2 \theta = \sec^2 \theta$$ $$1 + \cot^2 \theta = \csc^2 \theta$$

最初の恒等式が、残り2つのもとになっています。

偶奇の恒等式

$$\sin(-\theta) = -\sin \theta, \qquad \cos(-\theta) = \cos \theta, \qquad \tan(-\theta) = -\tan \theta$$

同じパターンは逆数の関数にも広がります。$\csc$ と $\cot$ は奇関数、$\sec$ は偶関数です。

余関数の恒等式

$$\sin\left(\frac{\pi}{2} - \theta\right) = \cos \theta$$ $$\cos\left(\frac{\pi}{2} - \theta\right) = \sin \theta$$ $$\tan\left(\frac{\pi}{2} - \theta\right) = \cot \theta$$

これらは、互いに余角の関係にある角から出てきます。

加法・減法の恒等式

$$\sin(\alpha + \beta) = \sin \alpha \cos \beta + \cos \alpha \sin \beta$$ $$\sin(\alpha - \beta) = \sin \alpha \cos \beta - \cos \alpha \sin \beta$$ $$\cos(\alpha + \beta) = \cos \alpha \cos \beta - \sin \alpha \sin \beta$$ $$\cos(\alpha - \beta) = \cos \alpha \cos \beta + \sin \alpha \sin \beta$$ $$\tan(\alpha + \beta) = \frac{\tan \alpha + \tan \beta}{1 - \tan \alpha \tan \beta}$$ $$\tan(\alpha - \beta) = \frac{\tan \alpha - \tan \beta}{1 + \tan \alpha \tan \beta}$$

$\tan$ の公式では、分母が 0 でないことが必要です。

倍角の恒等式

角の和の公式で $\alpha = \beta = \theta$ とおきます。

$$\sin(2\theta) = 2 \sin \theta \cos \theta$$ $$\cos(2\theta) = \cos^2 \theta - \sin^2 \theta$$ $$\cos(2\theta) = 2\cos^2 \theta - 1$$ $$\cos(2\theta) = 1 - 2\sin^2 \theta$$ $$\tan(2\theta) = \frac{2\tan \theta}{1 - \tan^2 \theta}$$

$\tan$ の倍角公式でも、$1 - \tan^2 \theta \neq 0$ が必要です。

半角の恒等式

これらは倍角公式を変形して得られます。

$$\sin^2 \theta = \frac{1 - \cos(2\theta)}{2}$$ $$\cos^2 \theta = \frac{1 + \cos(2\theta)}{2}$$

角を $\theta/2$ と書いたとき、平方根を使う形は次のようになります。

$$\sin\left(\frac{\theta}{2}\right) = \pm \sqrt{\frac{1 - \cos \theta}{2}}$$ $$\cos\left(\frac{\theta}{2}\right) = \pm \sqrt{\frac{1 + \cos \theta}{2}}$$

符号は $\theta/2$ がどの象限にあるかで決まるので、$\pm$ を勝手に落としてはいけません。

主な三角恒等式はどこから来るのか

単位円から最初のピタゴラスの恒等式が出る

単位円では、角 $\theta$ に対応する点は $(\cos \theta, \sin \theta)$ です。この円上のすべての点は $x^2 + y^2 = 1$ を満たすので、$x = \cos \theta$、$y = \sin \theta$ を代入すると

$$\cos^2 \theta + \sin^2 \theta = 1$$

となります。

これが基本のピタゴラスの恒等式です。

他のピタゴラスの恒等式は割り算から出る

$\cos \theta \neq 0$ のとき、

$$\sin^2 \theta + \cos^2 \theta = 1$$

を $\cos^2 \theta$ で割ると、

$$\frac{\sin^2 \theta}{\cos^2 \theta} + 1 = \frac{1}{\cos^2 \theta}$$ $$\tan^2 \theta + 1 = \sec^2 \theta$$

となります。

また、$\sin \theta \neq 0$ のときに $\sin^2 \theta$ で割れば、

$$1 + \cot^2 \theta = \csc^2 \theta$$

が得られます。

倍角の恒等式は加法公式から出る

まず

$$\sin(\alpha + \beta) = \sin \alpha \cos \beta + \cos \alpha \sin \beta$$

から始めて、$\alpha = \beta = \theta$ とおくと、

$$\sin(2\theta) = 2\sin \theta \cos \theta$$

となります。

$\cos$ と $\tan$ の倍角公式も同じ考え方で導けます。

例題：倍角を含む式を簡単にする

次を簡単にします。

$$\frac{1 - \cos(2\theta)}{\sin(2\theta)}$$

ただし、もとの式が定義される角に限ります。

倍角公式を使うと、

$$1 - \cos(2\theta) = 1 - \left(1 - 2\sin^2 \theta\right) = 2\sin^2 \theta$$

また、

$$\sin(2\theta) = 2\sin \theta \cos \theta$$

です。

これを代入すると、

$$\frac{1 - \cos(2\theta)}{\sin(2\theta)} = \frac{2\sin^2 \theta}{2\sin \theta \cos \theta} = \frac{\sin \theta}{\cos \theta} = \tan \theta$$

となります。

ただし、この結論が成り立つのは、もとの分母が 0 でない範囲、つまり $\sin(2\theta) \neq 0$ のときだけです。約分をすると、最初に除かれていた値が見えなくなることがあるので、この条件は大切です。

三角恒等式でよくあるミス

最も問題になりやすいのは、定義域の制限を無視することです。$\sin \theta$ や $\cos \theta$ で割ってよいのは、それらが 0 でないときだけです。

もう1つよくあるのは、半角公式で $\pm$ を落としてしまうことです。平方根だけでは、三角関数の値の符号までは決まりません。

また、$\sin^2 \theta$ と $\sin(\theta^2)$ を混同する人もいます。$\sin^2 \theta$ は $(\sin \theta)^2$ を意味します。

三角恒等式はいつ使うのか

三角恒等式は、式をより使いやすい形に書き換えたいときに現れます。たとえば、宿題の式変形、2つの式が等しいことの証明、三角方程式を解く場面、さらに積分などの微積分の準備でも使われます。

実際には、すべてを $\sin \theta$ と $\cos \theta$ で書き直すと、解きやすくなる問題が多くあります。

似た問題に挑戦

次を簡単にしてみましょう。

$$\frac{\sin(2\theta)}{1 + \cos(2\theta)}$$

倍角公式を使い、もとの式の定義域の条件も意識してください。さらに一歩進めるなら、結果を $\tan \theta$ と比べてみましょう。