逆三角関数 — 公式とグラフ

逆三角関数は、三角関数の値から角度を返す関数です。実際には、$\arcsin x$、$\arccos x$、$\arctan x$ はそれぞれ、条件を満たすすべての角ではなく、主値と呼ばれる1つの標準的な角を返します。

この制限は本質的です。正弦・余弦・正接はグラフ全体では同じ値を繰り返すため、各出力がただ1つの角に対応する区間に制限してはじめて逆関数をもてます。

$\arcsin x$、$\arccos x$、$\arctan x$ の意味

次の定義は、三角関数としての関係と、許される出力範囲の両方を示しています。

$$\arcsin x = y \quad \text{means} \quad \sin y = x \text{ and } -\frac{\pi}{2} \le y \le \frac{\pi}{2}$$ $$\arccos x = y \quad \text{means} \quad \cos y = x \text{ and } 0 \le y \le \pi$$ $$\arctan x = y \quad \text{means} \quad \tan y = x \text{ and } -\frac{\pi}{2} < y < \frac{\pi}{2}$$

これらの区間条件は、単なる補足ではありません。逆関数の値が1つに定まるようにするために必要な条件です。

実際に必要な定義域と値域

学習で最もよく使う3つの逆三角関数については、次のようになります。

$$\arcsin x: \quad -1 \le x \le 1, \quad -\frac{\pi}{2} \le y \le \frac{\pi}{2}$$ $$\arccos x: \quad -1 \le x \le 1, \quad 0 \le y \le \pi$$ $$\arctan x: \quad x \in \mathbb{R}, \quad -\frac{\pi}{2} < y < \frac{\pi}{2}$$

各行は、最初が入力、次が出力だと読んでください。たとえば $\arcsin x$ が受け取れるのは $-1 \le x \le 1$ の範囲だけです。これは、正弦の値がその区間の外にはならないからです。

逆三角関数のグラフの考え方

逆三角関数のグラフは、直線 $y = x$ に関する折り返しで得られます。ただし、もとの三角関数を1対1になる区間に制限したあとで考える必要があります。

たとえば $y = \arcsin x$ は、制限した正弦のグラフ

$$y = \sin x \quad \text{for} \quad -\frac{\pi}{2} \le x \le \frac{\pi}{2}$$

を直線 $y = x$ に関して折り返したものです。

同じ考え方で、次の対応が得られます。

$$y = \arccos x \leftrightarrow y = \cos x \quad \text{for} \quad 0 \le x \le \pi$$ $$y = \arctan x \leftrightarrow y = \tan x \quad \text{for} \quad -\frac{\pi}{2} < x < \frac{\pi}{2}$$

正弦・余弦・正接の周期的なグラフ全体をそのまま折り返してはいけません。グラフ全体は水平線テストを満たさないので、逆関数をもちません。

主値の範囲を使う例題

次を求めます。

$$\arccos\left(-\frac{1}{2}\right)$$

$\cos y = -\frac{1}{2}$ となる角 $y$ を考えます。この条件を満たす角はたくさんありますが、$\arccos x$ が返すのは主値の範囲

$$0 \le y \le \pi$$

にある角でなければなりません。

この区間で正しい角は $y = \frac{2\pi}{3}$ なので、

$$\arccos\left(-\frac{1}{2}\right) = \frac{2\pi}{3}$$

となります。

ここで身につけたい大事な考え方は、条件を満たす角なら何でも探すのではなく、正しい範囲にある角を探すことです。

逆三角関数でよくある間違い

最も多い間違いは、逆三角関数と逆数の三角関数を混同することです。$\arcsin x$ は $\csc x$ と同じではありません。また、$\sin^{-1} x$ は通常、$1/\sin x$ ではなく逆正弦を意味します。

もう1つよくあるのは、主値の範囲を無視することです。たとえば $\sin \left(\frac{5\pi}{6}\right) = \frac{1}{2}$ ですが、

$$\arcsin\left(\frac{1}{2}\right) = \frac{\pi}{6}$$

です。これは $\frac{\pi}{6}$ が $\arcsin x$ で許される範囲にある角だからです。

また、定義域を忘れることもあります。$\arcsin 2$ や $\arccos(-3)$ のような式は実数値をもちません。正弦と余弦の出力は $[-1,1]$ の範囲を超えないからです。

逆三角関数が使われる場面

逆三角関数は、比がわかっていて、そこから角度を求めたいときに現れます。これは直角三角形の幾何、航法、傾きや方向の問題、ベクトル成分、三角形を使うモデリングなどでよく起こります。

また、微積分でも重要です。導関数や、$\int \frac{1}{1+x^2}\,dx = \arctan x + C$ のような不定積分、さらに三角関数を含む置換積分でも登場します。

2ステップで考える方法

逆三角関数の式を計算するときは、次の2つを確認します。

1. 与えられた値に対応する三角関数はどれか。
2. その関数の主値の範囲にある角はどれか。

この2つをいつもセットで考えると、公式もグラフもずっと理解しやすくなります。

自分でも試してみよう

$\arcsin\left(-\frac{\sqrt{2}}{2}\right)$ と $\arctan(1)$ を求めてみましょう。先に主値の範囲を意識すると、どちらもすぐに答えが見えてきます。