三角関数 — 完全ガイド

三角関数は、角度と長さを結びつける数学の分野です。直角三角形で欠けている辺や角を求めたいとき、三角関数は基本となる道具です。同じ考え方は、単位円、回転、波のような繰り返しのパターンにも広がります。

多くの生徒が最初に学ぶのは、サイン、コサイン、タンジェントの3つの関数です。直角三角形の鋭角 $\theta$ に対して、

$$\sin \theta = \frac{\text{opposite}}{\text{hypotenuse}}, \quad \cos \theta = \frac{\text{adjacent}}{\text{hypotenuse}}, \quad \tan \theta = \frac{\text{opposite}}{\text{adjacent}}$$

$\cos \theta \ne 0$ なら、

$$\tan \theta = \frac{\sin \theta}{\cos \theta}$$

大事な考え方は、公式そのものよりももっとシンプルです。同じ角をもつ三角形では、辺の比が同じになります。だから三角関数の値は三角形の大きさではなく、角度だけで決まります。

三角関数は実際に何をするのか

直角三角形では、三角関数を使うと1つの角と2つの辺の長さを結びつけられます。どの角を基準にするかを決めると、辺の名前はその角に対して決まります。

• 向かい側の辺（opposite）は、その角の向かいにある辺です。
• 隣の辺（adjacent）は、その角に接している辺ですが、斜辺ではありません。
• 斜辺（hypotenuse）は、最も長い辺で、直角の向かいにあります。

同じ三角形でも、別の角を基準にすると opposite と adjacent は入れ替わることがあります。これはよくあるミスの原因です。

なぜサイン・コサイン・タンジェントは一定なのか

2つの直角三角形が同じ鋭角をもつなら、それらは相似です。辺の長さは違っていても、対応する辺は同じ倍率で拡大・縮小されます。そのため、辺の比は変わりません。

だから $\sin 30^\circ$ や $\cos 60^\circ$ には、1つの決まった値があります。三角形が大きくなっても小さくなっても、角度が同じなら比は変わりません。

サイン・コサイン・タンジェントの違いをひと目で

それぞれの比は、異なる2辺を比べています。

• $\sin \theta$ は opposite と hypotenuse の比です。
• $\cos \theta$ は adjacent と hypotenuse の比です。
• $\tan \theta$ は opposite と adjacent の比です。

SOHCAHTOA はこの対応を覚える助けになりますが、辺を正しくラベル付けしたあとでないと役に立ちません。

例題：建物の高さを求める

水平な地面で建物から $20$ メートル離れた場所に立ち、建物の頂上への仰角が $35^\circ$ だとします。目の高さを無視すると、建物の高さはどれくらいでしょうか。

これは直角三角形の問題です。水平距離は adjacent、建物の高さは opposite です。角度と adjacent がわかっているので、使うのに最も適しているのはタンジェントです。

$$\tan 35^\circ = \frac{\text{height}}{20}$$

高さについて解くと、

$$\text{height} = 20 \tan 35^\circ$$

電卓を度数法モードにして計算すると、

$$\text{height} \approx 20(0.7002) \approx 14.0$$

したがって、この条件では建物の高さは約 $14$ メートルです。

一般的な流れはシンプルです。わかっている辺を確認し、角度を確認し、それらを結びつける三角比を選び、方程式を解きます。

単位円はどこで関係してくるのか

直角三角形は出発点ですが、それですべてではありません。$90^\circ$ より大きい角、負の角、1回転する角を扱うには、三角関数を単位円へ拡張します。

単位円では、角 $\theta$ に対応する点は

$$(\cos \theta, \sin \theta)$$

です。

つまり、コサインは横座標、サインは縦座標です。これが、同じ関数が円運動や周期的なグラフを表す理由です。

三角関数でよくあるミス

よくあるミスの1つは、基準にする角を決める前に opposite と adjacent を決めてしまうことです。これらの名前は固定ではなく、角に対して相対的に決まります。

もう1つのミスは、三角形の種類に合わない比を使うことです。基本の $\sin$、$\cos$、$\tan$ の辺の比の定義は、直角三角形にそのまま使えます。直角三角形でない場合は、正弦定理や余弦定理のような道具が必要になるのが普通です。

電卓のモードもミスの原因になります。問題の角度が度数法なら、電卓も度数法モードでなければなりません。ラジアンで扱うなら、電卓もそれに合わせる必要があります。

また、$\cos \theta = 0$ のときは $\tan \theta$ は定義されないことも覚えておくと役立ちます。0で割ることはできないからです。

三角関数はいつ使われるのか

三角関数は、方向、回転、高さ、距離、周期的な変化が重要になる場面で現れます。代表的な例には、測量、航法、工学、物理、コンピュータグラフィックス、信号解析があります。

学校数学では、主に4つの形で出会うことが多いです。直角三角形の問題、単位円の値、三角恒等式、そしてサインとコサインのグラフです。

似た問題に挑戦してみよう

建物の代わりに木で同じ設定を試してみましょう。$15$ メートル離れた場所に立ち、仰角を $40^\circ$ として、高さを見積もってみてください。計算する前に正しい比を選べれば、三角関数の中心となる考え方をきちんと使えています。