Tipi di numeri — naturali, interi non negativi, interi, razionali, irrazionali

I tipi di numeri ti dicono che genere di numero stai osservando: naturale, intero non negativo, intero, razionale oppure irrazionale. L’idea principale è semplice: alcuni insiemi sono contenuti in altri più grandi, quindi uno stesso numero può appartenere a più categorie contemporaneamente.

C’è subito un dettaglio importante: alcuni libri di testo includono $0$ nei numeri naturali, altri no. Con interi non negativi si intende di solito $0, 1, 2, 3, \dots$, quindi $0$ è il numero che più spesso dipende dalla convenzione adottata.

Come si collegano gli insiemi numerici

La rappresentazione usuale nei numeri reali è:

$$\text{natural} \subseteq \text{whole} \subseteq \text{integers} \subseteq \text{rational} \subseteq \text{real}$$

Anche i numeri irrazionali sono numeri reali, ma non sono razionali. Quindi i numeri reali si dividono in due gruppi: razionali e irrazionali.

Per questo uno stesso numero può avere più etichette. Per esempio, $4$ è naturale, intero non negativo, intero e razionale perché $4 = 4/1$.

Numeri naturali, interi non negativi, interi, razionali e irrazionali

Numeri naturali

I numeri naturali sono i numeri che si usano per contare. In molti corsi, questo significa

$$1, 2, 3, 4, \dots$$

In alcuni corsi si include anche $0$. Se il tuo insegnante o il tuo libro non lo specifica, controlla prima di classificare $0$ come naturale.

Interi non negativi

Gli interi non negativi sono di solito

$$0, 1, 2, 3, 4, \dots$$

Gli interi non negativi includono lo zero, ma non includono numeri negativi né frazioni.

Interi

Gli interi comprendono gli interi negativi, lo zero e gli interi positivi:

$$\dots, -3, -2, -1, 0, 1, 2, 3, \dots$$

Un intero non ha parte frazionaria, quindi $-7$ e $0$ sono interi, mentre $3/2$ non lo è.

Numeri razionali

Un numero razionale è qualsiasi numero che può essere scritto nella forma

$$\frac{a}{b}$$

dove $a$ e $b$ sono interi e $b \ne 0$.

Questo include frazioni come $\frac{3}{4}$, interi come $-2$ perché $-2 = -2/1$, e numeri decimali finiti o periodici, come $0.5$ e $0.333\dots$.

Numeri irrazionali

Un numero irrazionale non può essere scritto come rapporto tra due interi.

Per i numeri reali, questo significa che la sua forma decimale non termina e non si ripete con uno schema fisso. Esempi comuni sono $\sqrt{2}$ e $\pi$.

Esempio svolto: come classificare un numero

Usa alcuni esempi rappresentativi per vedere subito lo schema:

Numero	Classificazione	Perché
$0$	intero non negativo, intero, razionale	$0 = 0/1$, quindi è razionale. È anche un intero non negativo e un intero. È naturale solo se il tuo corso include $0$.
$-3$	intero, razionale	Non ha parte frazionaria, quindi è un intero. Inoltre, $-3 = -3/1$, quindi è razionale.
$\frac\{7\}\{4\}$	razionale	È già scritto come rapporto tra due interi con denominatore diverso da zero, quindi è razionale ma non intero.
$\sqrt\{2\}$	irrazionale	Non può essere scritto come frazione di due interi, quindi è irrazionale.

Questo mostra l’idea principale: la classificazione dipende dal fatto che il numero soddisfi la definizione, non da quanto sembri complicato.

Un test rapido per i decimali

Se un numero decimale termina, è razionale. Per esempio,

$$0.125 = \frac{1}{8}$$

Se un numero decimale è periodico, è anch’esso razionale. Per esempio,

$$0.777\dots = \frac{7}{9}$$

Se il numero decimale di un numero reale non termina né si ripete, allora è irrazionale.

Questo test funziona solo quando conosci il pattern. Un numero decimale che sembra semplicemente lungo non è automaticamente irrazionale.

Errori comuni sui tipi di numeri

Pensare che $0$ sia sempre naturale

Libri di testo diversi usano convenzioni diverse. Se un esercizio chiede se $0$ è naturale, controlla quale definizione viene usata.

Dimenticare che gli interi sono numeri razionali

A volte gli studenti separano troppo nettamente gli interi dai razionali. Ogni intero è razionale perché si può sempre scrivere con denominatore $1$.

Pensare che ogni radice quadrata sia irrazionale

Alcune lo sono, ma non tutte. Per esempio, $\sqrt{2}$ è irrazionale, ma $\sqrt{9} = 3$ è razionale.

Pensare che un decimale lungo debba essere irrazionale

La lunghezza non è il criterio giusto. La vera domanda è se il numero decimale termina oppure è periodico.

Quando si usano numeri naturali, interi non negativi, interi, razionali e irrazionali

Queste categorie compaiono quando risolvi equazioni, descrivi insiemi soluzione, scegli gli input ammessi e leggi le rette numeriche. Se un problema chiede soluzioni intere, $\frac{5}{2}$ viene escluso subito anche se è razionale.

Sono importanti anche perché le operazioni non ti mantengono sempre nello stesso insieme. Per esempio, i numeri naturali restano naturali con l’addizione, ma non sempre con la sottrazione.

Prova una classificazione simile

Prova a classificare $5$, $-1$, $0.25$ e $\sqrt{9}$. Fatti ogni volta le stesse domande: è un numero usato per contare, include lo zero, ha una parte frazionaria, può essere scritto come $a/b$, oppure non supera questo test?