Sistemi di numerazione - binario, ottale, esadecimale

Il binario, l'ottale e l'esadecimale sono tutti sistemi a valore posizionale. La differenza sta nella base. Il binario è in base $2$, l'ottale in base $8$ e l'esadecimale in base $16$. Quando questa idea diventa chiara, i simboli smettono di sembrare misteriosi.

In ogni sistema di numerazione posizionale, ogni posizione è una potenza della base. In base $10$, le posizioni valgono $1$, $10$, $100$ e così via. In base $2$, le posizioni valgono $1$, $2$, $4$, $8$, $16$ e così via. La stessa regola vale per ogni base.

Quali cifre usa ciascun sistema

Il binario usa solo le cifre $0$ e $1$.

L'ottale usa le cifre da $0$ a $7$.

L'esadecimale usa $16$ simboli: da $0$ a $9$, poi da $A$ a $F$ per i valori da $10$ a $15$.

Questo significa che una cifra esadecimale può contenere più informazione di una cifra binaria, perché una posizione esadecimale conta in potenze di $16$, non in potenze di $2$.

L'idea principale

Un numero non cambia valore solo perché lo scrivi in una base diversa. Cambia solo la rappresentazione.

Per esempio, il numero in base $10$ $45$ resta la stessa quantità sia che lo scrivi in binario, in ottale o in esadecimale. Le basi diverse sono come lingue diverse per esprimere la stessa quantità.

Un esempio chiaro: scrivere $45$ in binario, ottale ed esadecimale

Partiamo dalla base $10$.

$$45 = 32 + 8 + 4 + 1$$

Queste sono potenze di $2$:

$$32 = 2^5,\quad 8 = 2^3,\quad 4 = 2^2,\quad 1 = 2^0$$

Quindi la forma binaria ha $1$ nelle posizioni $2^5$, $2^3$, $2^2$ e $2^0$:

$$45_{10} = 101101_2$$

Ora usa la forma binaria per ottenere l'ottale. Poiché $8 = 2^3$, raggruppa le cifre binarie in gruppi di $3$ partendo da destra:

$$101101_2 = 101\ 101_2$$

Ogni gruppo diventa una cifra ottale:

$$101_2 = 5,\quad 101_2 = 5$$

Quindi

$$45_{10} = 55_8$$

Ora passiamo all'esadecimale. Poiché $16 = 2^4$, raggruppa le cifre binarie in gruppi di $4$ partendo da destra. Aggiungi zeri iniziali se necessario:

$$101101_2 = 0010\ 1101_2$$

Poi converti ogni gruppo:

$$0010_2 = 2,\quad 1101_2 = 13 = D$$

Quindi

$$45_{10} = 2D_{16}$$

Tutte e tre le forme rappresentano la stessa quantità:

$$45_{10} = 101101_2 = 55_8 = 2D_{16}$$

Errori comuni

Un errore comune è dimenticare che la base cambia i valori posizionali. La stringa $101$ non significa la stessa cosa in base $2$, in base $8$ e in base $10$.

Un altro errore è usare cifre che la base non permette. Per esempio, $2$ non può comparire in un numero binario e $8$ non può comparire in un numero ottale.

Gli studenti spesso sbagliano anche il raggruppamento delle cifre binarie quando convertono in ottale o in esadecimale. Raggruppa partendo da destra e aggiungi zeri iniziali se ti serve un gruppo completo.

Quando si usano questi sistemi di numerazione

Il binario è il linguaggio di base dei sistemi digitali perché gli interruttori hanno naturalmente due stati. L'ottale e l'esadecimale sono modi compatti per scrivere lunghe stringhe binarie.

Non serve studiare informatica per capire l'idea matematica. Questi sistemi restano utili perché allenano la regola fondamentale di tutta la notazione posizionale: il valore dipende dalla base e dalla posizione.

Prova una conversione simile

Prova a convertire $58_{10}$ in binario, ottale ed esadecimale. Per prima cosa scrivilo come somma di potenze di $2$, poi raggruppa le cifre binarie per ottenere le altre due forme.