Valore assoluto — definizione e proprietà

Il valore assoluto indica la distanza da $0$ sulla retta dei numeri. Per i numeri reali, questo significa che $|x|$ è sempre non negativo.

Per questo $|5| = 5$ e $|-5| = 5$. I numeri si trovano su lati opposti di $0$, ma hanno la stessa distanza da esso.

Definizione di valore assoluto

Per un numero reale $x$,

$$|x| = \begin{cases} x, & x \ge 0 \\ -x, & x < 0 \end{cases}$$

Questo non significa che il valore assoluto "rende tutto positivo". Lascia invariati i numeri non negativi e cambia il segno dei numeri negativi.

Pensalo come una distanza

Il miglior modello mentale è la distanza. Se leggi $|x|$, pensa a "la distanza da $x$ a $0$".

La stessa idea spiega espressioni come $|a-b|$. È la distanza tra $a$ e $b$ sulla retta dei numeri.

Per esempio,

$$|2 - 7| = |-5| = 5$$

quindi la distanza tra $2$ e $7$ è $5$.

Proprietà principali del valore assoluto

Queste sono le proprietà che userai più spesso:

1. $|x| \ge 0$ per ogni numero reale $x$.
2. $|x| = 0$ solo quando $x = 0$.
3. $|-x| = |x|$.
4. $|ab| = |a||b|$ per numeri reali $a$ e $b$.
5. Se $b \ne 0$, allora $\left|\frac{a}{b}\right| = \frac{|a|}{|b|}$.

La condizione $b \ne 0$ è importante nell'ultima proprietà perché la divisione per $0$ non è definita.

Esempio svolto: risolvi $|x - 3| = 5$

Questa equazione chiede quali numeri hanno distanza $5$ da $3$.

Se un numero si trova $5$ unità a destra di $3$, allora

$$x - 3 = 5$$

quindi

$$x = 8$$

Se un numero si trova $5$ unità a sinistra di $3$, allora

$$x - 3 = -5$$

quindi

$$x = -2$$

Quindi le soluzioni sono

$$x = 8 \quad \text{or} \quad x = -2$$

Questa idea dei due casi è lo schema principale da ricordare. Se $|u| = k$ e $k > 0$, risolvi sia $u = k$ sia $u = -k$.

Errori comuni sul valore assoluto

Un errore comune è pensare che $|x|$ possa essere negativo. Non può esserlo. Per i numeri reali, il valore assoluto è sempre almeno $0$.

Un altro errore comune è risolvere un solo caso. Nell'esempio sopra, fermarsi a $x = 8$ fa perdere il secondo punto che si trova anch'esso a distanza $5$ da $3$.

Gli studenti confondono anche $|-x|$ e $-|x|$. Non sono la stessa cosa. Infatti, $|-x| = |x|$, ma $-|x|$ è zero o negativo.

Quando si usa il valore assoluto

Il valore assoluto compare ogni volta che la grandezza conta più della direzione.

Lo trovi nella distanza sulla retta dei numeri, nell'errore o nello scarto rispetto a un valore obiettivo, nelle equazioni e disequazioni, e nelle formule in cui deve rimanere solo il modulo. Nella matematica più avanzata compare anche nella geometria analitica, nel calcolo e nei numeri complessi, anche se il significato preciso dipende dal contesto.

Controllo rapido per equazioni del tipo $|u| = k$

Se vedi un'equazione come $|u| = k$, controlla prima il lato destro.

Se $k < 0$, non esiste alcuna soluzione reale perché un valore assoluto non può essere uguale a un numero negativo. Se $k = 0$, allora l'espressione interna deve essere $0$. Se $k > 0$, aspettati due casi, a meno che entrambi non portino allo stesso valore.

Prova un problema simile sul valore assoluto

Prova a risolvere $|x + 4| = 9$. Leggilo come "la distanza da $-4$ è $9$", poi scrivi i due casi corrispondenti. Se vuoi controllare il risultato dopo aver risolto, sostituisci entrambe le risposte nell'equazione originale.