Ordine delle operazioni — regole PEMDAS / BODMAS

L’ordine delle operazioni ti dice cosa fare per primo in un’espressione matematica, così tutti ottengono lo stesso risultato. Per PEMDAS o BODMAS, la regola è questa: prima si semplificano i simboli di raggruppamento, poi le potenze, poi moltiplicazioni e divisioni da sinistra a destra, e infine addizioni e sottrazioni da sinistra a destra.

Se ricordi una sola cosa, ricorda questa: moltiplicazione e divisione stanno allo stesso livello, e addizione e sottrazione stanno allo stesso livello. All’interno di ogni livello, si procede da sinistra a destra.

PEMDAS e BODMAS indicano la stessa regola

PEMDAS significa Parentheses, Exponents, Multiplication, Division, Addition, Subtraction. BODMAS usa Brackets e Orders al posto di Parentheses ed Exponents. La regola alla base è la stessa.

La parte che crea confusione è il centro dell’acronimo. Moltiplicazione e divisione formano un unico livello di priorità, quindi si esegue per prima quella che compare più a sinistra. Anche addizione e sottrazione formano un unico livello di priorità, quindi si lavora di nuovo da sinistra a destra.

Questo significa che PEMDAS non dice "moltiplica sempre prima di dividere". Dice "completa la fase di moltiplicazione o divisione nell’ordine in cui appare".

Ordine delle operazioni in 4 passaggi

1. Semplifica all’interno dei simboli di raggruppamento, come le parentesi.
2. Calcola le potenze.
3. Esegui moltiplicazioni e divisioni da sinistra a destra.
4. Esegui addizioni e sottrazioni da sinistra a destra.

Se i simboli di raggruppamento sono annidati, inizia dalla parte più interna e procedi verso l’esterno. Anche la linea di frazione funziona come un raggruppamento, perché l’intero numeratore e l’intero denominatore restano uniti.

Esempio svolto: applicare PEMDAS passo dopo passo

Calcola

$$24 / 3 \times (1 + 3) - 2^2$$

Inizia con le parentesi:

$$24 / 3 \times 4 - 2^2$$

Ora calcola la potenza:

$$24 / 3 \times 4 - 4$$

Poi esegui divisione e moltiplicazione da sinistra a destra:

$$24 / 3 = 8$$

quindi l’espressione diventa

$$8 \times 4 - 4$$

Poi moltiplica:

$$32 - 4$$

Infine sottrai:

$$28$$

Quindi

$$24 / 3 \times (1 + 3) - 2^2 = 28$$

Questo esempio mostra chiaramente l’errore più comune. Se moltiplicassi prima $3 \times 4$, cambieresti la regola da sinistra a destra all’interno della fase di moltiplicazione e divisione.

Errori comuni con l’ordine delle operazioni

Un errore comune è leggere PEMDAS come una scala rigida dall’alto verso il basso. In $20 / 5 \times 2$, dividi prima perché quell’operazione compare per prima da sinistra, quindi il risultato è $8$, non $2$.

Un altro errore è trattare l’addizione come se dovesse avvenire prima della sottrazione, o la sottrazione prima dell’addizione. In $10 - 3 + 1$, si procede da sinistra a destra e si ottiene $8$.

Gli studenti spesso saltano anche il passaggio di riscrittura. Questo rende facile perdere un segno, dimenticare una potenza o eseguire un’operazione troppo presto. Riscrivere l’espressione dopo ogni fase richiede solo pochi secondi in più, ma evita molti errori.

Quando si usa questa regola

Si usa l’ordine delle operazioni ogni volta che un’espressione combina operazioni diverse. Questo include l’aritmetica scolastica, l’algebra, le formule scientifiche, i calcoli nei fogli di calcolo e l’inserimento di espressioni nella calcolatrice.

Anche i linguaggi di programmazione usano una precedenza degli operatori, ma i simboli esatti possono cambiare a seconda del linguaggio o dello strumento. L’idea di base è la stessa: alcune operazioni vengono raggruppate prima di altre, così le espressioni vengono interpretate in modo coerente.

Un rapido controllo prima di andare avanti

Dopo aver finito, poniti due domande:

1. Ho eliminato i simboli di raggruppamento e calcolato le potenze prima delle operazioni di base?
2. Nella fase di moltiplicazione o divisione e nella fase di addizione o sottrazione, ho proceduto da sinistra a destra?

Se la risposta a entrambe è sì, probabilmente la struttura è corretta.

Prova un esercizio simile

Prova

$$30 / 5 \times (2 + 1) + 3^2$$

Risolvi un passaggio alla volta e controlla se dividi prima di moltiplicare. Se vuoi verificare i tuoi passaggi dopo, prova la tua versione nel risolutore e confronta le righe intermedie, non solo il risultato finale.