Angoli alterni interni

Gli angoli alterni interni sono angoli compresi tra due rette e situati su lati opposti di una trasversale. Se le due rette sono parallele, ogni coppia di angoli alterni interni ha la stessa ampiezza.

Questa condizione è importante. Se le rette non sono parallele, non puoi supporre che quegli angoli siano uguali.

Come identificare gli angoli alterni interni

Una trasversale è una retta che interseca altre due rette. Gli angoli interni sono quelli nello spazio compreso tra queste due rette.

Tra questi angoli interni, una coppia di angoli alterni interni si trova su lati opposti della trasversale. In un diagramma standard, una coppia è formata dall'angolo interno a sinistra nell'intersezione superiore e dall'angolo interno a destra nell'intersezione inferiore.

Se non sei sicuro, controlla due cose in ordine:

1. Entrambi gli angoli devono trovarsi all'interno delle due rette.
2. Gli angoli devono essere su lati opposti della trasversale.

Quando gli angoli alterni interni sono uguali

Se due rette parallele sono tagliate da una trasversale, allora gli angoli alterni interni sono congruenti.

Se le rette $l$ e $m$ sono parallele e gli angoli $a$ e $b$ formano una coppia di angoli alterni interni, allora

$$a = b$$

Questa è la regola di cui gli studenti hanno di solito bisogno nei problemi di geometria. Si applica solo quando la condizione di parallelismo è data oppure è già stata dimostrata.

Esempio svolto

Supponi che due rette parallele siano tagliate da una trasversale. Un angolo alterno interno misura $x + 12$ gradi, e il suo corrispondente misura $68^\circ$. Trova $x$.

Poiché le rette sono parallele, gli angoli sono uguali. Mettili uguali e risolvi:

$$x + 12 = 68$$ $$x = 56$$

Quindi l'ampiezza dell'angolo incognito è $68^\circ$ e il valore della variabile è $56$. Lo schema tipico è: prima identifica la relazione, poi scrivi l'equazione.

Angoli alterni interni e angoli corrispondenti

Gli studenti spesso confondono gli angoli alterni interni con gli angoli corrispondenti perché entrambi compaiono quando una trasversale taglia due rette parallele, ed entrambi sono uguali in quel caso.

La differenza sta nella posizione. Gli angoli alterni interni sono all'interno delle due rette e su lati opposti della trasversale. Gli angoli corrispondenti occupano posizioni corrispondenti nei due punti di intersezione.

Se prima ti chiedi "dentro o fuori?" e poi "stesso lato o lato opposto?", di solito la classificazione diventa chiara.

Errori comuni

L'errore più comune è saltare la condizione delle rette parallele. Un diagramma può sembrare mostrare rette parallele, ma non dovresti usare l'uguaglianza a meno che il problema non dica che le rette sono parallele oppure tu lo abbia dimostrato.

Un altro errore è scegliere un angolo esterno alle due rette. Se uno degli angoli è esterno alla coppia di rette, non è un angolo alterno interno.

Esiste anche un teorema inverso: se una trasversale taglia due rette e una coppia di angoli alterni interni è congruente, allora le due rette sono parallele.

Dove si usa in geometria

Gli angoli alterni interni compaiono nelle dimostrazioni con inseguimento degli angoli, nei diagrammi di triangoli con rette ausiliarie parallele e nei problemi in cui devi giustificare che due rette sono parallele.

L'idea è semplice, ma aiuta a trasformare un diagramma affollato in un insieme più piccolo di angoli uguali da seguire.

Prova un problema simile

Disegna due rette parallele e una trasversale. Indica un angolo interno come $115^\circ$. Trova il suo angolo alterno interno, poi trova l'angolo interno dallo stesso lato accanto ad esso.

Se vuoi fare un passo in più, prova una tua versione con una variabile come $x + 20$ e ponila uguale a $115$ prima di risolvere.