Angoli di un triangolo — somma 180° e tipi

In geometria euclidea, gli angoli di un triangolo sommano $180^\circ$. Se conosci due angoli interni, sottrai la loro somma da $180^\circ$ per ottenere il terzo. Questo stesso fatto ti aiuta anche a capire se il triangolo è acutangolo, rettangolo oppure ottusangolo.

Se gli angoli interni sono $A$, $B$ e $C$, allora

$$A + B + C = 180^\circ$$

Questa affermazione vale per la normale geometria del piano. Nella geometria non euclidea, per esempio nei triangoli disegnati su una sfera, la somma degli angoli non deve necessariamente essere $180^\circ$.

Perché gli angoli di un triangolo sommano 180 gradi

Un triangolo ha tre angoli interni, uno in ogni vertice. In geometria euclidea, questi tre angoli danno sempre lo stesso totale: un angolo piatto, cioè $180^\circ$.

Di solito non serve una dimostrazione completa per usare questa regola. La cosa importante da ricordare è che, una volta noti due angoli interni qualsiasi, il terzo è determinato.

$$C = 180^\circ - (A + B)$$

Come trovare un angolo mancante in un triangolo

Usa la regola della somma degli angoli in due passaggi rapidi:

Per prima cosa somma i due angoli interni noti.

Poi sottrai quel totale da $180^\circ$.

Esempio svolto: trova il terzo angolo

Supponiamo che un triangolo abbia angoli di $47^\circ$ e $68^\circ$. Trova il terzo angolo e indica il tipo di triangolo in base agli angoli.

Per prima cosa somma gli angoli noti:

$$47^\circ + 68^\circ = 115^\circ$$

Ora sottrai da $180^\circ$:

$$180^\circ - 115^\circ = 65^\circ$$

Quindi il terzo angolo è $65^\circ$. L'insieme completo degli angoli è $47^\circ$, $68^\circ$ e $65^\circ$, quindi questo è un triangolo acutangolo perché tutti e tre gli angoli sono minori di $90^\circ$.

Tipi di triangolo in base agli angoli

Triangolo acutangolo

Tutti e tre gli angoli interni sono minori di $90^\circ$.

Triangolo rettangolo

Un angolo interno è esattamente $90^\circ$.

Triangolo ottusangolo

Un angolo interno è maggiore di $90^\circ$.

Poiché il totale è $180^\circ$, un triangolo può avere al massimo un angolo retto e al massimo un angolo ottuso.

Errori comuni con gli angoli del triangolo

Usare la regola fuori dalla geometria euclidea

La regola dei $180^\circ$ vale per la normale geometria del piano. Questo è il contesto della maggior parte dei problemi scolastici, ma la condizione conta se il problema non riguarda un piano.

Confondere angoli interni ed esterni

La regola della somma degli angoli del triangolo usa i tre angoli interni, non un angolo esterno formato prolungando un lato.

Classificare dal disegno invece che dai numeri

Uno schizzo può trarre in inganno. Un triangolo che sembra ottusangolo potrebbe non esserlo, quindi classificalo in base alle misure degli angoli, non al disegno.

Dimenticare l'unità in gradi

Se il problema è espresso in gradi, mantieni il simbolo di grado così resta chiaro quale misura angolare stai usando.

Controlli rapidi per individuare errori

In un triangolo equilatero, tutti e tre gli angoli sono uguali, quindi ciascuno misura $60^\circ$.

In un triangolo isoscele, gli angoli opposti ai lati uguali sono uguali. Questo ti dà una relazione in più da usare prima di applicare il totale di $180^\circ$.

Questi fatti sono utili come controlli rapidi quando un risultato sembra sospetto.

Quando è utile la regola della somma degli angoli del triangolo

La regola della somma degli angoli compare nella geometria di base, nelle dimostrazioni sui triangoli, nei problemi di costruzione e nell'impostazione della trigonometria. Spesso è il primo passo prima di usare una proprietà più specifica sui triangoli isosceli, rettangoli, congruenti o simili.

Ti aiuta anche a verificare se una risposta ha senso. Se tre angoli interni non sommano $180^\circ$ in un normale problema di geometria piana, allora qualcosa è andato storto in un passaggio precedente.

Prova un esercizio simile

Prova con un triangolo che ha angoli di $35^\circ$ e $90^\circ$. Trova il terzo angolo, poi stabilisci se il triangolo è acutangolo, rettangolo oppure ottusangolo.

Se vuoi un riscontro dopo averlo risolto, confronta i tuoi passaggi nel solver e controlla che tutti e tre gli angoli interni sommino ancora $180^\circ$.