Angoli esterni — Teorema e somma degli angoli esterni

Gli angoli esterni sono gli angoli fuori da una figura che compaiono quando prolunghi un lato. I fatti chiave sono semplici: in un triangolo, un angolo esterno è uguale alla somma dei due angoli interni non adiacenti e, in qualsiasi poligono, un angolo esterno per ogni vertice somma $360^\circ$ se li misuri tutti nello stesso verso.

Se devi ricordare una sola scorciatoia, ricorda questa: un angolo interno e il suo angolo esterno adiacente sommano sempre $180^\circ$.

Che cosa significa angolo esterno

Prendi un poligono e prolunga un lato oltre un vertice. L’angolo tra quel prolungamento e il lato successivo è un angolo esterno.

Questo angolo esterno si trova accanto all’angolo interno dello stesso vertice, quindi i due formano un angolo piatto:

$$\text{interior angle} + \text{adjacent exterior angle} = 180^\circ$$

Questa relazione è spesso il modo più rapido per passare dagli angoli interni a quelli esterni, e viceversa.

Come funziona il teorema dell’angolo esterno nel triangolo

Per un triangolo, un angolo esterno è uguale alla somma dei due angoli interni che non gli sono adiacenti. Questi si chiamano angoli interni non adiacenti.

Se gli angoli interni non adiacenti sono $a$ e $b$, e l’angolo esterno è $e$, allora

$$e = a + b$$

Questo vale solo per i due angoli interni non adiacenti. L’angolo interno adiacente all’angolo esterno non fa parte del teorema.

Perché gli angoli esterni di un poligono sommano $360^\circ$

Se prendi un angolo esterno per ogni vertice di un poligono e li misuri tutti nello stesso verso di rotazione, il totale è sempre

$$360^\circ$$

Questo vale per triangoli, quadrilateri, pentagoni e poligoni con più lati. Un modo utile per visualizzarlo è immaginare di camminare attorno alla figura: gli angoli esterni descrivono la tua rotazione totale e, dopo un giro completo, torni nella direzione iniziale, cioè hai compiuto una rotazione completa di $360^\circ$.

Per un poligono regolare, tutti gli angoli esterni sono uguali, quindi ciascuno vale

$$\frac{360^\circ}{n}$$

dove $n$ è il numero di lati.

Esempio svolto: usare il teorema dell’angolo esterno nel triangolo

In un triangolo, due angoli interni non adiacenti misurano $48^\circ$ e $67^\circ$. Trova l’angolo esterno nel terzo vertice.

Usa direttamente il teorema:

$$e = 48^\circ + 67^\circ = 115^\circ$$

Quindi l’angolo esterno è $115^\circ$.

Se vuoi trovare anche l’angolo interno adiacente, usa la relazione dell’angolo piatto:

$$\text{adjacent interior angle} = 180^\circ - 115^\circ = 65^\circ$$

Questo esempio mostra i due passaggi più comuni:

1. Somma i due angoli interni non adiacenti per ottenere l’angolo esterno.
2. Sottrai da $180^\circ$ se il problema chiede anche l’angolo interno adiacente.

Per un poligono regolare, il procedimento è diverso: prima usa $360^\circ / n$ per trovare un angolo esterno, poi sottrai da $180^\circ$ se ti serve l’angolo interno.

Errori comuni con gli angoli esterni

Usare gli angoli sbagliati nel teorema del triangolo

In un triangolo, l’angolo esterno è uguale alla somma dei due angoli interni non adiacenti, non dell’angolo interno accanto a esso.

Sommare più di un angolo esterno nello stesso vertice

La regola dei $360^\circ$ usa un solo angolo esterno per vertice. Se conti angoli in più o mescoli angoli esterni diversi nello stesso vertice, il totale non rispetterà il teorema.

Ignorare la condizione sul verso

Per i poligoni, usa un angolo esterno per ogni vertice e misurali in modo coerente mentre ti sposti attorno alla figura. È questo che fa sì che il totale rappresenti una rotazione completa.

Supporre che ogni poligono abbia angoli esterni uguali

Solo i poligoni regolari hanno angoli esterni uguali. I poligoni irregolari hanno comunque una somma degli angoli esterni pari a $360^\circ$, ma i singoli angoli possono essere diversi.

Quando si usano gli angoli esterni

Gli angoli esterni compaiono nelle dimostrazioni sui triangoli, nei problemi sugli angoli dei poligoni e negli esercizi sui poligoni regolari. Sono particolarmente utili quando devi trovare rapidamente un angolo incognito senza calcolare prima tutti gli angoli della figura.

Collegano anche la geometria al concetto di rotazione. Per questo la somma degli angoli esterni di un poligono è stabile e facile da ricordare.

Prova un problema simile

Prova ora con un decagono regolare. Prima trova un angolo esterno usando $360^\circ / 10$, poi trova l’angolo interno adiacente.

Se vuoi controllare il tuo ragionamento passo dopo passo, confronta il tuo lavoro con un risolutore dopo aver finito e verifica se hai usato la somma degli angoli esterni o la relazione dell’angolo piatto nel momento giusto.