Fungsi Trigonometri Invers — Rumus & Grafik

Fungsi trigonometri invers mengembalikan sebuah sudut dari suatu nilai trigonometri. Dalam praktiknya, $\arcsin x$, $\arccos x$, dan $\arctan x$ masing-masing mengembalikan satu sudut standar, yang disebut nilai utama, bukan semua sudut yang memenuhi.

Pembatasan itu sangat penting. Sinus, cosinus, dan tangen mengulang nilai pada grafik penuhnya, jadi fungsi-fungsi itu baru memiliki invers setelah dibatasi pada interval tempat setiap output berasal dari tepat satu sudut.

Arti $\arcsin x$, $\arccos x$, dan $\arctan x$

Definisi berikut menunjukkan hubungan trigonometri sekaligus range output yang diperbolehkan:

$$\arcsin x = y \quad \text{means} \quad \sin y = x \text{ and } -\frac{\pi}{2} \le y \le \frac{\pi}{2}$$ $$\arccos x = y \quad \text{means} \quad \cos y = x \text{ and } 0 \le y \le \pi$$ $$\arctan x = y \quad \text{means} \quad \tan y = x \text{ and } -\frac{\pi}{2} < y < \frac{\pi}{2}$$

Syarat interval itu bukan sekadar detail tambahan. Justru itulah yang membuat fungsi invers memiliki satu nilai output untuk setiap input.

Domain dan range yang benar-benar perlu kamu tahu

Untuk tiga fungsi trigonometri invers yang paling sering digunakan siswa:

$$\arcsin x: \quad -1 \le x \le 1, \quad -\frac{\pi}{2} \le y \le \frac{\pi}{2}$$ $$\arccos x: \quad -1 \le x \le 1, \quad 0 \le y \le \pi$$ $$\arctan x: \quad x \in \mathbb{R}, \quad -\frac{\pi}{2} < y < \frac{\pi}{2}$$

Bacalah setiap baris sebagai input terlebih dahulu, lalu output. Misalnya, $\arcsin x$ hanya menerima $-1 \le x \le 1$ karena sinus tidak pernah menghasilkan nilai di luar interval itu.

Cara kerja grafik fungsi trigonometri invers

Grafik fungsi trigonometri invers merupakan pencerminan terhadap garis $y = x$, tetapi hanya setelah fungsi trigonometri asal dibatasi pada interval yang bersifat satu-satu.

Sebagai contoh, $y = \arcsin x$ adalah pencerminan dari grafik sinus yang dibatasi

$$y = \sin x \quad \text{for} \quad -\frac{\pi}{2} \le x \le \frac{\pi}{2}$$

terhadap garis $y = x$.

Gagasan yang sama menghasilkan pasangan berikut:

$$y = \arccos x \leftrightarrow y = \cos x \quad \text{for} \quad 0 \le x \le \pi$$ $$y = \arctan x \leftrightarrow y = \tan x \quad \text{for} \quad -\frac{\pi}{2} < x < \frac{\pi}{2}$$

Jangan mencerminkan seluruh grafik sinus, cosinus, atau tangen yang berulang. Grafik penuh gagal memenuhi uji garis horizontal, sehingga tidak dapat memiliki fungsi invers.

Satu contoh pembahasan dengan range utama

Hitung

$$\arccos\left(-\frac{1}{2}\right)$$

Kita mencari sudut $y$ sehingga $\cos y = -\frac{1}{2}$. Ada banyak sudut yang memenuhi, tetapi $\arccos x$ harus mengembalikan sudut dalam range utama

$$0 \le y \le \pi$$

Di dalam interval itu, sudut yang benar adalah $y = \frac{2\pi}{3}$, jadi

$$\arccos\left(-\frac{1}{2}\right) = \frac{2\pi}{3}$$

Itulah kebiasaan utama yang perlu dibangun: jangan mencari sembarang sudut yang memenuhi. Carilah sudut dalam range yang benar.

Kesalahan umum pada trigonometri invers

Kesalahan yang paling umum adalah mencampuradukkan trigonometri invers dengan trigonometri resiprokal. $\arcsin x$ tidak sama dengan $\csc x$, dan $\sin^{-1} x$ biasanya berarti invers sinus, bukan $1/\sin x$.

Kesalahan umum lainnya adalah mengabaikan range utama. Misalnya, $\sin \left(\frac{5\pi}{6}\right) = \frac{1}{2}$, tetapi

$$\arcsin\left(\frac{1}{2}\right) = \frac{\pi}{6}$$

karena $\frac{\pi}{6}$ adalah sudut dalam range yang diperbolehkan untuk $\arcsin x$.

Siswa juga kadang lupa pada domain. Ekspresi seperti $\arcsin 2$ dan $\arccos(-3)$ tidak bernilai real karena sinus dan cosinus tidak menghasilkan output di luar $[-1,1]$.

Kapan fungsi trigonometri invers digunakan

Fungsi trigonometri invers muncul setiap kali kamu mengetahui suatu rasio dan perlu mendapatkan kembali sudutnya. Ini terjadi dalam geometri segitiga siku-siku, navigasi, soal kemiringan dan arah, komponen vektor, serta pemodelan berbasis segitiga.

Fungsi-fungsi ini juga penting dalam kalkulus. Kamu akan menemukannya pada turunan, antiturunan seperti $\int \frac{1}{1+x^2}\,dx = \arctan x + C$, dan substitusi yang melibatkan ekspresi trigonometri.

Cara 2 langkah untuk memikirkannya

Saat kamu menghitung ekspresi trigonometri invers, lakukan dua pemeriksaan ini:

1. Fungsi trigonometri mana yang sesuai dengan nilai yang diberikan?
2. Sudut mana yang berada dalam range utama fungsi tersebut?

Jika kamu selalu menggabungkan dua pemeriksaan ini, rumus dan grafiknya akan jauh lebih mudah dipahami.

Coba versimu sendiri

Coba hitung $\arcsin\left(-\frac{\sqrt{2}}{2}\right)$ dan $\arctan(1)$. Jika kamu menentukan range utama terlebih dahulu, kedua jawabannya akan cepat terlihat.