Identitas Trigonometri: Daftar Inti, Ide Pembuktian, dan Contoh

Identitas trigonometri adalah rumus yang melibatkan $\sin$, $\cos$, $\tan$, dan fungsi terkait yang bernilai benar untuk setiap sudut saat kedua ruas terdefinisi. Jika Anda mencari identitas trigonometri standar yang digunakan dalam aljabar, prakalkulus, dan kalkulus awal, daftar intinya mencakup identitas resiprokal, hasil bagi, Pythagoras, genap-ganjil, kofungsi, jumlah-selisih, sudut ganda, dan sudut setengah.

Cara tercepat untuk mengingatnya adalah dengan mengelompokkannya berdasarkan fungsi. Ada yang menuliskan ulang satu fungsi trigonometri dalam bentuk fungsi lain, ada yang menghubungkan $\sin \theta$ dan $\cos \theta$, dan ada yang mengubah sudut dari $\theta$ menjadi $2\theta$ atau $\theta/2$.

Apa yang membuat suatu persamaan menjadi identitas trigonometri?

Sebuah identitas bernilai benar untuk setiap sudut dalam domainnya. Misalnya,

$$\sin^2 \theta + \cos^2 \theta = 1$$

adalah identitas karena berlaku untuk setiap $\theta$.

Sebaliknya,

$$\sin \theta = \frac{1}{2}$$

bukan identitas. Persamaan itu hanya benar untuk sudut-sudut tertentu.

Syarat domain itu penting. Misalnya,

$$\tan \theta = \frac{\sin \theta}{\cos \theta}$$

hanya benar ketika $\cos \theta \neq 0$.

Daftar identitas trigonometri inti

Identitas resiprokal

$$\csc \theta = \frac{1}{\sin \theta}, \qquad \sec \theta = \frac{1}{\cos \theta}, \qquad \cot \theta = \frac{1}{\tan \theta}$$

Setiap rumus mensyaratkan penyebut tidak nol.

Identitas hasil bagi

$$\tan \theta = \frac{\sin \theta}{\cos \theta}, \qquad \cot \theta = \frac{\cos \theta}{\sin \theta}$$

Identitas ini sering menjadi langkah pertama dalam soal penyederhanaan karena menuliskan semuanya dalam bentuk $\sin$ dan $\cos$.

Identitas Pythagoras

$$\sin^2 \theta + \cos^2 \theta = 1$$ $$1 + \tan^2 \theta = \sec^2 \theta$$ $$1 + \cot^2 \theta = \csc^2 \theta$$

Identitas pertama menjadi sumber bagi dua identitas lainnya.

Identitas genap-ganjil

$$\sin(-\theta) = -\sin \theta, \qquad \cos(-\theta) = \cos \theta, \qquad \tan(-\theta) = -\tan \theta$$

Pola yang sama juga berlaku untuk fungsi resiprokal: $\csc$ dan $\cot$ adalah fungsi ganjil, sedangkan $\sec$ adalah fungsi genap.

Identitas kofungsi

$$\sin\left(\frac{\pi}{2} - \theta\right) = \cos \theta$$ $$\cos\left(\frac{\pi}{2} - \theta\right) = \sin \theta$$ $$\tan\left(\frac{\pi}{2} - \theta\right) = \cot \theta$$

Identitas ini berasal dari sudut-sudut komplemen.

Identitas jumlah dan selisih

$$\sin(\alpha + \beta) = \sin \alpha \cos \beta + \cos \alpha \sin \beta$$ $$\sin(\alpha - \beta) = \sin \alpha \cos \beta - \cos \alpha \sin \beta$$ $$\cos(\alpha + \beta) = \cos \alpha \cos \beta - \sin \alpha \sin \beta$$ $$\cos(\alpha - \beta) = \cos \alpha \cos \beta + \sin \alpha \sin \beta$$ $$\tan(\alpha + \beta) = \frac{\tan \alpha + \tan \beta}{1 - \tan \alpha \tan \beta}$$ $$\tan(\alpha - \beta) = \frac{\tan \alpha - \tan \beta}{1 + \tan \alpha \tan \beta}$$

Untuk rumus tangen, penyebut harus tidak nol.

Identitas sudut ganda

Ambil $\alpha = \beta = \theta$ pada rumus jumlah sudut.

$$\sin(2\theta) = 2 \sin \theta \cos \theta$$ $$\cos(2\theta) = \cos^2 \theta - \sin^2 \theta$$ $$\cos(2\theta) = 2\cos^2 \theta - 1$$ $$\cos(2\theta) = 1 - 2\sin^2 \theta$$ $$\tan(2\theta) = \frac{2\tan \theta}{1 - \tan^2 \theta}$$

Versi tangen juga memerlukan $1 - \tan^2 \theta \neq 0$.

Identitas sudut setengah

Identitas ini berasal dari menyusun ulang rumus sudut ganda.

$$\sin^2 \theta = \frac{1 - \cos(2\theta)}{2}$$ $$\cos^2 \theta = \frac{1 + \cos(2\theta)}{2}$$

Untuk sudut yang ditulis sebagai $\theta/2$, bentuk akar kuadratnya adalah

$$\sin\left(\frac{\theta}{2}\right) = \pm \sqrt{\frac{1 - \cos \theta}{2}}$$ $$\cos\left(\frac{\theta}{2}\right) = \pm \sqrt{\frac{1 + \cos \theta}{2}}$$

Tandanya bergantung pada kuadran dari $\theta/2$, jadi simbol $\pm$ tidak boleh dihilangkan begitu saja.

Dari mana identitas trigonometri utama berasal

Lingkaran satuan menghasilkan identitas Pythagoras pertama

Pada lingkaran satuan, titik pada sudut $\theta$ adalah $(\cos \theta, \sin \theta)$. Karena setiap titik pada lingkaran itu memenuhi $x^2 + y^2 = 1$, substitusi $x = \cos \theta$ dan $y = \sin \theta$ menghasilkan

$$\cos^2 \theta + \sin^2 \theta = 1$$

Itulah identitas Pythagoras dasar.

Identitas Pythagoras lainnya berasal dari pembagian

Jika $\cos \theta \neq 0$, bagi

$$\sin^2 \theta + \cos^2 \theta = 1$$

dengan $\cos^2 \theta$:

$$\frac{\sin^2 \theta}{\cos^2 \theta} + 1 = \frac{1}{\cos^2 \theta}$$ $$\tan^2 \theta + 1 = \sec^2 \theta$$

Jika $\sin \theta \neq 0$, membagi dengan $\sin^2 \theta$ menghasilkan

$$1 + \cot^2 \theta = \csc^2 \theta$$

Identitas sudut ganda berasal dari rumus jumlah sudut

Mulailah dengan

$$\sin(\alpha + \beta) = \sin \alpha \cos \beta + \cos \alpha \sin \beta$$

lalu ambil $\alpha = \beta = \theta$:

$$\sin(2\theta) = 2\sin \theta \cos \theta$$

Identitas sudut ganda untuk kosinus dan tangen diturunkan dengan cara yang sama.

Contoh lengkap: menyederhanakan ekspresi sudut ganda

Sederhanakan

$$\frac{1 - \cos(2\theta)}{\sin(2\theta)}$$

untuk sudut-sudut saat ekspresi asal terdefinisi.

Gunakan identitas sudut ganda:

$$1 - \cos(2\theta) = 1 - \left(1 - 2\sin^2 \theta\right) = 2\sin^2 \theta$$

dan

$$\sin(2\theta) = 2\sin \theta \cos \theta$$

Sekarang substitusikan:

$$\frac{1 - \cos(2\theta)}{\sin(2\theta)} = \frac{2\sin^2 \theta}{2\sin \theta \cos \theta} = \frac{\sin \theta}{\cos \theta} = \tan \theta$$

Kesimpulan ini hanya berlaku saat penyebut awal tidak nol, jadi $\sin(2\theta) \neq 0$. Syarat ini penting karena pencoretan suatu faktor bisa menyembunyikan nilai-nilai yang sejak awal tidak diperbolehkan.

Kesalahan umum pada identitas trigonometri

Mengabaikan batasan domain adalah kesalahan yang paling sering menimbulkan masalah. Membagi dengan $\sin \theta$ atau $\cos \theta$ hanya sah jika besaran itu tidak nol.

Kesalahan umum lainnya adalah menghilangkan $\pm$ pada rumus sudut setengah. Akar kuadrat saja tidak menentukan tanda nilai trigonometri.

Siswa juga sering tertukar antara $\sin^2 \theta$ dan $\sin(\theta^2)$. Notasi $\sin^2 \theta$ berarti $(\sin \theta)^2$.

Kapan identitas trigonometri digunakan

Identitas trigonometri muncul setiap kali Anda perlu menuliskan ulang suatu ekspresi ke bentuk yang lebih berguna. Ini mencakup menyederhanakan soal latihan, membuktikan dua ekspresi sama, menyelesaikan persamaan trigonometri, dan mempersiapkan topik kalkulus seperti integral.

Dalam praktiknya, banyak soal menjadi lebih mudah setelah semuanya ditulis ulang dalam bentuk $\sin \theta$ dan $\cos \theta$.

Coba soal serupa

Sederhanakan

$$\frac{\sin(2\theta)}{1 + \cos(2\theta)}$$

dengan menggunakan identitas sudut ganda, dan tetap perhatikan syarat domain dari ekspresi asal. Jika ingin satu langkah lagi, bandingkan hasil Anda dengan $\tan \theta$.