Grafik Trigonometri — Sin, Cos, Tan & Transformasi

Grafik trigonometri menunjukkan bagaimana $\sin x$, $\cos x$, dan $\tan x$ berubah saat $x$ berubah. Cara cepat membacanya sederhana: sinus dan cosinus berbentuk gelombang periodik, tangen berulang dalam cabang-cabang dengan asimtot vertikal, dan transformasi menentukan tinggi, lebar, pergeseran, serta pencerminan grafik induk.

Jika Anda menggambar grafik dari sebuah persamaan, mulai dengan empat pertanyaan: Apa fungsi induknya? Berapa periodenya? Di mana garis tengah atau garis pusatnya? Apakah grafiknya digeser atau dicerminkan?

Bentuk Grafik Sinus, Cosinus, dan Tangen

Grafik sinus dasar, $y=\sin x$, melalui titik asal dan berulang setiap $2\pi$ ketika $x$ diukur dalam radian. Grafik cosinus dasar, $y=\cos x$, memiliki bentuk gelombang dan periode yang sama, tetapi dimulai dari nilai maksimumnya saat $x=0$.

Grafik tangen dasar, $y=\tan x$, berperilaku berbeda. Grafik ini berulang setiap $\pi$, melalui titik asal, dan memiliki asimtot vertikal saat $\cos x = 0$. Karena tangen tidak terbatas, grafik ini tidak memiliki amplitudo.

Jika di kelas Anda sudut diukur dalam derajat, bukan radian, maka periode dasarnya adalah $360^\circ$ untuk sinus dan cosinus, serta $180^\circ$ untuk tangen.

Bagaimana Amplitudo, Periode, dan Pergeseran Mengubah Grafik

Untuk sinus dan cosinus, bentuk grafik yang umum adalah

$$y = a\sin(b(x-h))+k$$

atau

$$y = a\cos(b(x-h))+k$$

Jika $x$ dalam radian, maka:

• amplitudo $= |a|$
• periode $= \frac{2\pi}{|b|}$
• pergeseran horizontal $= h$
• pergeseran vertikal $= k$
• garis tengah $= y=k$

Jika $a<0$, grafik dicerminkan terhadap garis tengahnya. Jika $b<0$, grafik dicerminkan secara horizontal. Dalam banyak sketsa di kelas, tugas utamanya tetap menentukan periode, pergeseran, dan titik-titik penting dengan benar.

Untuk tangen, bentuk yang biasa digunakan adalah

$$y = a\tan(b(x-h))+k$$

dan, jika $x$ dalam radian,

• periode $= \frac{\pi}{|b|}$
• pergeseran horizontal $= h$
• pergeseran vertikal $= k$

Masih ada faktor peregangan vertikal dari $a$, tetapi itu tidak disebut amplitudo karena tangen tidak memiliki nilai tertinggi atau terendah.

Apa Arti Amplitudo dan Periode

Amplitudo menunjukkan seberapa jauh grafik sinus atau cosinus bergerak di atas dan di bawah garis tengahnya. Jika amplitudonya $3$, grafik naik $3$ satuan di atas garis tengah dan turun $3$ satuan di bawahnya.

Periode menunjukkan seberapa jauh sepanjang sumbu $x$ yang dibutuhkan grafik untuk menyelesaikan satu pengulangan penuh. Periode yang lebih kecil berarti grafik dimampatkan secara horizontal. Periode yang lebih besar berarti grafik diregangkan.

Itulah pola utama yang perlu diingat: $a$ dan $k$ mengatur perilaku vertikal, sedangkan $b$ dan $h$ mengatur perilaku horizontal.

Contoh: Gambar Grafik $y=-2\sin\left(x-\frac{\pi}{3}\right)+1$

Mulailah dari grafik induk $y=\sin x$.

Sekarang baca setiap transformasinya:

• $a=-2$, jadi amplitudonya $2$ dan grafik dicerminkan terhadap garis tengah.
• $b=1$, jadi periodenya tetap $2\pi$.
• $h=\frac{\pi}{3}$, jadi grafik bergeser ke kanan sejauh $\frac{\pi}{3}$.
• $k=1$, jadi garis tengahnya adalah $y=1$.

Jadi grafik berosilasi di sekitar $y=1$, mencapai maksimum di $y=3$, mencapai minimum di $y=-1$, dan menyelesaikan satu siklus dalam lebar $2\pi$.

Untuk sketsa cepat, gunakan lima input sinus standar dari satu siklus lalu transformasikan. Titik-titik pentingnya menjadi

$$\left(\frac{\pi}{3},1\right), \left(\frac{5\pi}{6},-1\right), \left(\frac{4\pi}{3},1\right), \left(\frac{11\pi}{6},3\right), \left(\frac{7\pi}{3},1\right)$$

Titik-titik itu menunjukkan bentuk lengkapnya: mulai di garis tengah, bergerak turun terlebih dahulu karena pencerminan, kembali ke garis tengah, naik ke puncak, lalu kembali lagi ke garis tengah.

Inilah kebiasaan yang paling menghemat waktu: transformasikan grafik induk alih-alih membangun ulang grafik dari nol.

Cara Kerja Grafik Tangen yang Ditransformasikan

Tangen memerlukan cara berpikir yang berbeda karena grafiknya dibangun di sekitar asimtot, bukan puncak dan lembah.

Untuk grafik induk $y=\tan x$, asimtot vertikalnya berada di

$$x = \frac{\pi}{2} + n\pi$$

untuk bilangan bulat $n$, dan titik nolnya berada di

$$x = n\pi$$

Untuk grafik transformasi $y=a\tan(b(x-h))+k$, asimtot terjadi saat

$$b(x-h) = \frac{\pi}{2} + n\pi$$

jadi jaraknya adalah $\frac{\pi}{|b|}$ dalam radian. Pada $y=\tan(2x)$, jarak itu menjadi $\frac{\pi}{2}$, sehingga cabangnya berulang dua kali lebih sering. Jarak ini lebih penting daripada mencoba memikirkannya dalam istilah amplitudo.

Kesalahan Umum pada Grafik Trigonometri

Menyebut Peregangan Tangen sebagai "Amplitudo"

Sinus dan cosinus memiliki jarak tertinggi dan terendah dari garis tengah, jadi amplitudo masuk akal. Tangen tidak mendatar, jadi tidak memiliki amplitudo.

Salah Menentukan Tanda Pergeseran Horizontal

Pada $y=\sin(x-2)$, grafik bergeser ke kanan sejauh $2$, bukan ke kiri. Tanda di dalam tanda kurung sering terasa terbalik pada awalnya.

Tertukar dalam Rumus Periode

Jika grafik ditulis dengan faktor $b$ di dalam input, periodenya dibagi dengan $|b|$. Untuk sinus dan cosinus, itu berarti $\frac{2\pi}{|b|}$ dalam radian. Untuk tangen, itu berarti $\frac{\pi}{|b|}$.

Lupa Apakah Sumbu Menggunakan Radian atau Derajat

Rumus-rumus di atas menggunakan radian. Jika suatu mata pelajaran atau grafik menggunakan derajat, ganti $2\pi$ dengan $360^\circ$ dan $\pi$ dengan $180^\circ$.

Kapan Grafik Trigonometri Digunakan

Grafik trigonometri digunakan setiap kali suatu pola berulang. Dalam matematika sekolah, grafik ini membantu Anda memahami transformasi, perilaku periodik, dan hubungan antara lingkaran satuan dan fungsi. Di luar itu, bentuk yang sama muncul pada gelombang, suara, siklus musiman, sistem berputar, dan model sinyal.

Anda tidak perlu semua konteks tambahan itu untuk membaca grafik dengan benar. Di sebagian besar kelas, tugas praktisnya adalah mengidentifikasi bentuk induk, menentukan satu siklus atau satu cabang, lalu melacak transformasinya dengan cermat.

Coba Soal Serupa

Sketsakan $y=3\cos\left(2\left(x+\frac{\pi}{4}\right)\right)-1$. Pertama, identifikasi amplitudo, periode, pergeseran, dan garis tengah sebelum memplot titik apa pun. Jika Anda bisa menjelaskan grafiknya dengan kata-kata sebelum menggambarnya, berarti transformasinya mulai benar-benar dipahami.