Sin, Cos, Tan — Penjelasan

Sinus, cosinus, dan tangen membandingkan panjang sisi terhadap satu sudut tertentu dalam segitiga siku-siku. Jika Anda memahami sisi mana yang merupakan sisi depan, sisi samping, dan hipotenusa, ketiga rasio ini akan jauh lebih mudah digunakan.

Jika $\theta$ adalah sudut lancip dalam segitiga siku-siku, maka

$$\sin \theta = \frac{\text{opposite}}{\text{hypotenuse}}, \quad \cos \theta = \frac{\text{adjacent}}{\text{hypotenuse}}, \quad \tan \theta = \frac{\text{opposite}}{\text{adjacent}}$$

Inilah ide di balik SOHCAHTOA. Singkatan ini membantu, tetapi inti utamanya lebih sederhana: setiap fungsi trigonometri adalah rasio yang terkait dengan satu sudut, bukan sifat dari sebuah sisi saja.

Arti Sin, Cos, dan Tan dalam Segitiga Siku-Siku

Pilih satu sudut lancip $\theta$ dalam segitiga siku-siku.

• Sisi depan adalah sisi yang berhadapan dengan $\theta$.
• Sisi samping adalah sisi yang berada di sebelah $\theta$, tetapi bukan hipotenusa.
• Hipotenusa adalah sisi terpanjang, yang berhadapan dengan sudut siku-siku.

Setelah label-label ini ditetapkan, rasio trigonometri memberi tahu perbandingan yang berbeda.

• $\sin \theta$ membandingkan sisi depan dengan hipotenusa.
• $\cos \theta$ membandingkan sisi samping dengan hipotenusa.
• $\tan \theta$ membandingkan sisi depan dengan sisi samping.

Jika Anda beralih ke sudut lancip yang lain, sisi depan dan sisi samping juga akan bertukar. Itulah sebabnya segitiga yang sama menghasilkan nilai sinus, cosinus, dan tangen yang berbeda untuk dua sudut lancipnya.

Satu fakta penting lagi: untuk sudut yang tetap, rasio-rasio ini tetap sama meskipun segitiganya diperbesar atau diperkecil. Segitiga-segitiga sebangun memiliki rasio sudut yang sama.

Contoh Soal dengan Segitiga 3-4-5

Misalkan sebuah segitiga siku-siku memiliki panjang sisi $3$, $4$, dan $5$. Misalkan $\theta$ adalah sudut lancip yang berhadapan dengan sisi panjang $3$.

Maka:

• sisi depan $= 3$
• sisi samping $= 4$
• hipotenusa $= 5$

Jadi

$$\sin \theta = \frac{3}{5}, \quad \cos \theta = \frac{4}{5}, \quad \tan \theta = \frac{3}{4}$$

Contoh ini menunjukkan polanya dengan jelas. Sinus dan cosinus sama-sama menggunakan hipotenusa. Tangen tidak; tangen membandingkan dua sisi siku-siku, sehingga sering berguna saat Anda ingin melihat tingkat kemiringan.

Kapan Menggunakan Sinus, Cosinus, atau Tangen

Gunakan rasio-rasio ini ketika suatu soal menghubungkan sudut dengan panjang sisi dalam segitiga siku-siku.

• Gunakan $\sin \theta$ ketika sisi yang Anda perlukan adalah sisi depan dan hipotenusa.
• Gunakan $\cos \theta$ ketika sisi yang Anda perlukan adalah sisi samping dan hipotenusa.
• Gunakan $\tan \theta$ ketika sisi yang Anda perlukan adalah sisi depan dan sisi samping.

Jika Anda mengetahui satu sisi dan satu sudut lancip, trigonometri sering memungkinkan Anda mencari sisi lainnya. Jika Anda mengetahui rasio sisi, fungsi trigonometri invers dapat membantu menemukan kembali sudutnya.

Bagaimana Lingkaran Satuan Memperluas Ide yang Sama

Definisi segitiga siku-siku di atas berlaku langsung untuk sudut lancip dalam segitiga siku-siku. Untuk sudut yang lebih besar dari $90^\circ$, sudut negatif, atau putaran penuh, trigonometri memperluas fungsi yang sama dengan menggunakan lingkaran satuan.

Pada lingkaran satuan, titik untuk sudut $\theta$ adalah

$$(\cos \theta, \sin \theta)$$

dan tangen tetap merupakan rasio

$$\tan \theta = \frac{\sin \theta}{\cos \theta}$$

ketika $\cos \theta \ne 0$.

Jadi pada lingkaran satuan, cosinus adalah koordinat $x$ dan sinus adalah koordinat $y$. Inilah sebabnya nama-nama fungsi trigonometri yang sama tetap berlaku bahkan ketika tidak ada segitiga siku-siku yang digambar.

Kesalahan Umum pada Sin, Cos, dan Tan

Salah satu kesalahan yang umum adalah tertukar antara sisi depan dan sisi samping. Label-label itu hanya bermakna setelah Anda memilih sudutnya terlebih dahulu.

Kesalahan umum lainnya adalah menganggap SOHCAHTOA mencakup semua soal trigonometri. SOHCAHTOA mencakup definisi segitiga siku-siku. Jika soal menggunakan sudut umum, lingkaran satuan biasanya menjadi model yang lebih baik.

Siswa juga kadang lupa bahwa tangen adalah rasio, bukan panjang sisi. Dalam segitiga, tangen membandingkan kenaikan terhadap pergeseran mendatar.

Kesalahan lain adalah menganggap tangen selalu ada. Dalam sudut pandang lingkaran satuan, $\tan \theta$ tidak terdefinisi ketika $\cos \theta = 0$.

Di Mana Sinus, Cosinus, dan Tangen Muncul

Ketiganya sangat umum dalam:

• soal segitiga siku-siku
• kemiringan dan arah
• gerak melingkar dan gelombang
• geometri koordinat dan lingkaran satuan

Jika soalnya tentang segitiga siku-siku, mulailah dengan sudut pandang rasio sisi. Jika soalnya tentang sudut di sekitar lingkaran, mulailah dengan sudut pandang lingkaran satuan.

Coba Soal Serupa

Ambil segitiga $3$-$4$-$5$ yang sama lalu beralih ke sudut lancip yang satunya. Beri label ulang sisi depan dan sisi samping, lalu hitung kembali $\sin \theta$, $\cos \theta$, dan $\tan \theta$. Pemeriksaan singkat ini menunjukkan mengapa rasio trigonometri bergantung pada sudut yang Anda pilih.