Proportions — Comment résoudre par produit en croix

Une proportion est une équation qui affirme que deux rapports sont égaux. Pour résoudre une proportion telle que $\frac{a}{b} = \frac{c}{d}$, avec $b \ne 0$ et $d \ne 0$, on peut faire un produit en croix pour obtenir $ad = bc$, puis résoudre cette équation plus simple.

Cette méthode ne fonctionne que si l’on a bien un rapport égal à un autre rapport. Si les grandeurs ne sont pas proportionnelles, ou si l’ordre des grandeurs change, le produit en croix peut donner un résultat faux.

Ce qu’est une proportion

$$\frac{a}{b} = \frac{c}{d}$$

Un rapport compare deux grandeurs dans un ordre fixé. Par exemple, $2:3$ compare la première grandeur à la seconde. Une proportion dit qu’un rapport est égal à un autre rapport :

$$2:3 = 4:6$$

On peut aussi écrire la même idée sous forme de fractions :

$$\frac{2}{3} = \frac{4}{6}$$

Ces deux formes signifient la même chose tant que le second terme de chaque rapport n’est pas nul.

Pourquoi le produit en croix fonctionne

Partons de

$$\frac{a}{b} = \frac{c}{d}$$

où $b \ne 0$ et $d \ne 0$. Multipliez les deux membres par $bd$ :

$$bd \cdot \frac{a}{b} = bd \cdot \frac{c}{d}$$

Les dénominateurs se simplifient, donc on obtient

$$ad = bc$$

C’est toute l’idée du produit en croix. Ce n’est pas une astuce séparée. Cela vient du fait qu’on multiplie les deux membres d’une égalité de fractions par une même quantité non nulle.

Résoudre une proportion étape par étape

Résoudre

$$\frac{3}{5} = \frac{x}{20}$$

Faites le produit en croix :

$$3 \times 20 = 5x$$

donc

$$60 = 5x$$

Divisez les deux membres par $5$ :

$$x = 12$$

Vérifiez le résultat :

$$\frac{12}{20} = \frac{3}{5}$$

car les deux fractions se simplifient en la même valeur. Le nombre manquant est donc $12$.

Si vous préférez la notation avec des rapports, ce même problème s’écrit

$$3:5 = 12:20$$

L’ordre est important. Remplacer un côté par $20:12$ décrirait un rapport différent.

Erreurs fréquentes quand on résout des proportions

• Pas d’égalité, pas de proportion. Si le problème n’indique pas que deux rapports sont égaux, le produit en croix ne s’applique pas forcément. Par exemple, l’addition de fractions n’est pas une proportion.

• Gardez le même ordre des grandeurs. $2:3$ et $3:2$ sont des rapports différents. Si un côté compare des miles à des heures, l’autre côté doit aussi comparer des miles à des heures.

• Vérifiez la condition sur les dénominateurs. La forme fractionnaire d’une proportion n’a de sens que si les dénominateurs ne sont pas nuls.

• Vérifiez votre réponse dans l’équation de départ. Une substitution rapide repère généralement les erreurs de calcul plus vite que de refaire tout l’exercice.

Quand les proportions sont le bon modèle

Les proportions apparaissent chaque fois qu’un rapport reste constant. Parmi les exemples courants, on trouve les fractions équivalentes, les échelles sur une carte, les triangles semblables, les recettes agrandies ou réduites, et les problèmes de prix où le coût varie à taux constant.

Cette condition est importante. Si la relation n’est pas proportionnelle, un modèle de proportion peut donner une mauvaise réponse même si l’algèbre est correcte.

Vérification rapide avant de faire un produit en croix

Avant d’utiliser le produit en croix, demandez-vous :

1. Ai-je vraiment un rapport égal à un autre rapport ?
2. Les grandeurs sont-elles dans le même ordre des deux côtés ?
3. Les dénominateurs sont-ils non nuls ?
4. La situation reste-t-elle réellement proportionnelle ?

Ces quatre vérifications évitent la plupart des erreurs de débutant.

Essayez un problème similaire

Essayez de résoudre

$$\frac{7}{9} = \frac{x}{27}$$

Puis vérifiez votre réponse en la remplaçant dans la proportion. Si vous voulez aller un peu plus loin, étudiez un autre cas avec des unités, comme une échelle de carte ou un problème de triangles semblables, et voyez si la même structure reste valable.