สัดส่วน — วิธีแก้ด้วยการคูณไขว้

สัดส่วนคือสมการที่บอกว่าอัตราส่วนสองอัตราส่วนมีค่าเท่ากัน ในการแก้สัดส่วน เช่น $\frac{a}{b} = \frac{c}{d}$ โดยที่ $b \ne 0$ และ $d \ne 0$ คุณสามารถคูณไขว้เพื่อได้ $ad = bc$ แล้วจึงแก้สมการที่ง่ายกว่านี้ต่อไป

วิธีนี้ใช้ได้ก็ต่อเมื่อโจทย์เป็นอัตราส่วนหนึ่งเท่ากับอีกอัตราส่วนหนึ่งจริง ๆ ถ้าปริมาณไม่ได้เป็นสัดส่วนกัน หรือถ้าลำดับของปริมาณเปลี่ยนไป การคูณไขว้อาจให้คำตอบที่ผิดได้

สัดส่วนคืออะไร

$$\frac{a}{b} = \frac{c}{d}$$

อัตราส่วนใช้เปรียบเทียบปริมาณสองอย่างตามลำดับที่กำหนดไว้ เช่น $2:3$ เปรียบเทียบปริมาณตัวแรกกับปริมาณตัวที่สอง สัดส่วนบอกว่าอัตราส่วนหนึ่งเท่ากับอีกอัตราส่วนหนึ่ง:

$$2:3 = 4:6$$

คุณสามารถเขียนแนวคิดเดียวกันนี้ในรูปเศษส่วนได้เช่นกัน:

$$\frac{2}{3} = \frac{4}{6}$$

ทั้งสองรูปแบบนี้มีความหมายเหมือนกัน ตราบใดที่พจน์ตัวที่สองของแต่ละอัตราส่วนไม่เป็นศูนย์

ทำไมการคูณไขว้จึงใช้ได้

เริ่มจาก

$$\frac{a}{b} = \frac{c}{d}$$

โดยที่ $b \ne 0$ และ $d \ne 0$ คูณทั้งสองข้างด้วย $bd$:

$$bd \cdot \frac{a}{b} = bd \cdot \frac{c}{d}$$

ตัวส่วนตัดกันได้ จึงได้ว่า

$$ad = bc$$

นี่คือแนวคิดทั้งหมดของการคูณไขว้ มันไม่ใช่เทคนิคแยกต่างหาก แต่เกิดจากการคูณทั้งสองข้างของสมการเศษส่วนที่เท่ากันด้วยปริมาณเดียวกันที่ไม่เป็นศูนย์

แก้สัดส่วนทีละขั้นตอน

จงแก้

$$\frac{3}{5} = \frac{x}{20}$$

คูณไขว้:

$$3 \times 20 = 5x$$

ดังนั้น

$$60 = 5x$$

หารทั้งสองข้างด้วย $5$:

$$x = 12$$

ตรวจคำตอบ:

$$\frac{12}{20} = \frac{3}{5}$$

เพราะเศษส่วนทั้งสองย่อให้เป็นค่าเดียวกันได้ ดังนั้นจำนวนที่หายไปคือ $12$

ถ้าคุณชอบเขียนในรูปอัตราส่วน โจทย์เดียวกันนี้คือ

$$3:5 = 12:20$$

ลำดับมีความสำคัญ ถ้าสลับด้านหนึ่งเป็น $20:12$ ก็จะกลายเป็นอัตราส่วนคนละตัว

ข้อผิดพลาดที่พบบ่อยเมื่อแก้สัดส่วน

• ถ้าไม่มีเครื่องหมายเท่ากับ ก็ไม่ใช่สัดส่วน ถ้าโจทย์ไม่ได้บอกว่าอัตราส่วนสองอัตราส่วนเท่ากัน การคูณไขว้อาจใช้ไม่ได้ ตัวอย่างเช่น การบวกเศษส่วนไม่ใช่สัดส่วน

• ต้องคงลำดับของปริมาณไว้เสมอ $2:3$ และ $3:2$ เป็นอัตราส่วนคนละตัว ถ้าด้านหนึ่งเปรียบเทียบไมล์ต่อชั่วโมง อีกด้านหนึ่งก็ต้องเปรียบเทียบไมล์ต่อชั่วโมงเช่นกัน

• ตรวจเงื่อนไขของตัวส่วน รูปเศษส่วนของสัดส่วนจะมีความหมายก็ต่อเมื่อตัวส่วนไม่เป็นศูนย์

• ตรวจคำตอบในสมการเดิม การแทนค่ากลับอย่างรวดเร็วมักช่วยจับความผิดพลาดในการคำนวณได้เร็วกว่าการทำโจทย์ใหม่ทั้งหมด

เมื่อใดที่สัดส่วนเป็นแบบจำลองที่เหมาะสม

สัดส่วนปรากฏขึ้นเมื่ออัตราส่วนหนึ่งคงที่ ตัวอย่างที่พบบ่อย ได้แก่ เศษส่วนที่เท่ากัน มาตราส่วนแผนที่ สามเหลี่ยมคล้าย สูตรอาหารที่ปรับเพิ่มหรือลดปริมาณ และโจทย์ราคาเมื่อค่าใช้จ่ายเปลี่ยนไปตามอัตราคงที่

เงื่อนไขนี้สำคัญมาก ถ้าความสัมพันธ์ไม่ได้เป็นสัดส่วน การใช้แบบจำลองสัดส่วนอาจให้คำตอบที่ผิด แม้ว่าพีชคณิตจะทำถูกต้องก็ตาม

เช็กสั้น ๆ ก่อนคูณไขว้

ก่อนใช้การคูณไขว้ ให้ถามตัวเองว่า:

1. ฉันมีอัตราส่วนหนึ่งเท่ากับอีกอัตราส่วนหนึ่งจริงหรือไม่?
2. ปริมาณอยู่ในลำดับเดียวกันทั้งสองข้างหรือไม่?
3. ตัวส่วนไม่เป็นศูนย์ใช่หรือไม่?
4. สถานการณ์นี้เป็นความสัมพันธ์แบบสัดส่วนจริงหรือไม่?

การตรวจทั้งสี่ข้อนี้ช่วยป้องกันข้อผิดพลาดพื้นฐานได้เกือบทั้งหมด

ลองทำโจทย์ที่คล้ายกัน

ลองแก้

$$\frac{7}{9} = \frac{x}{27}$$

จากนั้นตรวจคำตอบโดยแทนค่ากลับเข้าไปในสัดส่วนเดิม ถ้าอยากลองต่ออีกขั้น ให้สำรวจอีกกรณีที่มีหน่วยกำกับ เช่น มาตราส่วนแผนที่หรือโจทย์สามเหลี่ยมคล้าย แล้วดูว่าโครงสร้างแบบเดียวกันนี้ยังใช้ได้อยู่หรือไม่