Proportionen — So löst man mit Kreuzmultiplikation

Eine Proportion ist eine Gleichung, die aussagt, dass zwei Verhältnisse gleich sind. Um eine Proportion wie $\frac{a}{b} = \frac{c}{d}$ zu lösen, mit $b \ne 0$ und $d \ne 0$, kannst du kreuzmultiplizieren, also $ad = bc$ bilden, und dann die einfachere Gleichung lösen.

Diese Methode funktioniert nur, wenn tatsächlich ein Verhältnis einem anderen Verhältnis gleichgesetzt wird. Wenn die Größen nicht proportional sind oder sich die Reihenfolge der Größen ändert, kann die Kreuzmultiplikation zum falschen Ergebnis führen.

Was eine Proportion ist

$$\frac{a}{b} = \frac{c}{d}$$

Ein Verhältnis vergleicht zwei Größen in einer festen Reihenfolge. Zum Beispiel vergleicht $2:3$ die erste Größe mit der zweiten Größe. Eine Proportion sagt aus, dass ein Verhältnis einem anderen Verhältnis gleich ist:

$$2:3 = 4:6$$

Du kannst dieselbe Aussage auch als Brüche schreiben:

$$\frac{2}{3} = \frac{4}{6}$$

Diese beiden Schreibweisen bedeuten dasselbe, solange der zweite Term in jedem Verhältnis nicht null ist.

Warum Kreuzmultiplikation funktioniert

Starte mit

$$\frac{a}{b} = \frac{c}{d}$$

wobei $b \ne 0$ und $d \ne 0$ gilt. Multipliziere beide Seiten mit $bd$:

$$bd \cdot \frac{a}{b} = bd \cdot \frac{c}{d}$$

Die Nenner kürzen sich weg, also erhältst du

$$ad = bc$$

Das ist die ganze Idee hinter der Kreuzmultiplikation. Es ist kein eigener Trick. Sie entsteht dadurch, dass man beide Seiten einer Gleichung mit gleichen Brüchen mit derselben von null verschiedenen Größe multipliziert.

Eine Proportion Schritt für Schritt lösen

Löse

$$\frac{3}{5} = \frac{x}{20}$$

Kreuzmultipliziere:

$$3 \times 20 = 5x$$

also

$$60 = 5x$$

Teile beide Seiten durch $5$:

$$x = 12$$

Prüfe das Ergebnis:

$$\frac{12}{20} = \frac{3}{5}$$

denn beide Brüche lassen sich auf denselben Wert kürzen. Die gesuchte Zahl ist also $12$.

Wenn du die Verhältnisschreibweise bevorzugst, lautet dieselbe Aufgabe

$$3:5 = 12:20$$

Die Reihenfolge ist wichtig. Wenn du auf einer Seite zu $20:12$ vertauschst, beschreibst du ein anderes Verhältnis.

Häufige Fehler beim Lösen von Proportionen

• Keine Gleichheit, keine Proportion. Wenn in der Aufgabe nicht steht, dass zwei Verhältnisse gleich sind, ist Kreuzmultiplikation möglicherweise nicht anwendbar. Das Addieren von Brüchen ist zum Beispiel keine Proportion.

• Halte die Reihenfolge der Größen fest. $2:3$ und $3:2$ sind verschiedene Verhältnisse. Wenn auf einer Seite Meilen zu Stunden verglichen werden, muss auf der anderen Seite ebenfalls Meilen zu Stunden verglichen werden.

• Achte auf die Bedingung für den Nenner. Die Bruchschreibweise einer Proportion ist nur sinnvoll, wenn die Nenner nicht null sind.

• Prüfe deine Antwort in der ursprünglichen Gleichung. Ein kurzes Einsetzen findet Rechenfehler meist schneller, als die ganze Aufgabe noch einmal zu lösen.

Wann Proportionen das richtige Modell sind

Proportionen treten immer dann auf, wenn ein Verhältnis konstant bleibt. Häufige Beispiele sind äquivalente Brüche, Maßstäbe auf Karten, ähnliche Dreiecke, Rezepte, die hoch- oder herunterskaliert werden, und Preisaufgaben, bei denen sich die Kosten mit einer konstanten Rate ändern.

Diese Bedingung ist wichtig. Wenn der Zusammenhang nicht proportional ist, kann ein Proportionsmodell zur falschen Antwort führen, selbst wenn die Algebra korrekt ist.

Kurzer Check vor der Kreuzmultiplikation

Bevor du Kreuzmultiplikation verwendest, frage dich:

1. Habe ich wirklich ein Verhältnis, das einem anderen Verhältnis gleich ist?
2. Stehen die Größen auf beiden Seiten in derselben Reihenfolge?
3. Sind die Nenner ungleich null?
4. Bleibt die Situation tatsächlich proportional?

Diese vier Prüfungen verhindern die meisten Anfängerfehler.

Probiere eine ähnliche Aufgabe

Versuche zu lösen:

$$\frac{7}{9} = \frac{x}{27}$$

Prüfe dann deine Antwort, indem du sie wieder in die Proportion einsetzt. Wenn du noch einen Schritt weitergehen möchtest, untersuche einen weiteren Fall mit Einheiten, zum Beispiel einen Kartenmaßstab oder eine Aufgabe zu ähnlichen Dreiecken, und prüfe, ob dieselbe Struktur weiterhin gilt.