Proporcje — jak rozwiązywać metodą mnożenia na krzyż

Proporcja to równanie mówiące, że dwa stosunki są sobie równe. Aby rozwiązać proporcję taką jak $\frac{a}{b} = \frac{c}{d}$, przy $b \ne 0$ i $d \ne 0$, możesz zastosować mnożenie na krzyż, aby otrzymać $ad = bc$, a następnie rozwiązać prostsze równanie.

Ta metoda działa tylko wtedy, gdy rzeczywiście masz jeden stosunek równy drugiemu stosunkowi. Jeśli wielkości nie są proporcjonalne albo jeśli zmienia się kolejność wielkości, mnożenie na krzyż może dać błędny wynik.

Czym jest proporcja

$$\frac{a}{b} = \frac{c}{d}$$

Stosunek porównuje dwie wielkości w ustalonej kolejności. Na przykład $2:3$ porównuje pierwszą wielkość do drugiej. Proporcja mówi, że jeden stosunek jest równy drugiemu stosunkowi:

$$2:3 = 4:6$$

Tę samą zależność można też zapisać w postaci ułamków:

$$\frac{2}{3} = \frac{4}{6}$$

Obie formy znaczą to samo, o ile drugi wyraz w każdym stosunku nie jest równy zeru.

Dlaczego mnożenie na krzyż działa

Zacznij od

$$\frac{a}{b} = \frac{c}{d}$$

gdzie $b \ne 0$ i $d \ne 0$. Pomnóż obie strony przez $bd$:

$$bd \cdot \frac{a}{b} = bd \cdot \frac{c}{d}$$

Mianowniki się skracają, więc otrzymujesz

$$ad = bc$$

Na tym właśnie polega mnożenie na krzyż. To nie jest osobna sztuczka. Wynika ono z pomnożenia obu stron równania z równymi ułamkami przez tę samą niezerową wielkość.

Rozwiąż proporcję krok po kroku

Rozwiąż

$$\frac{3}{5} = \frac{x}{20}$$

Zastosuj mnożenie na krzyż:

$$3 \times 20 = 5x$$

czyli

$$60 = 5x$$

Podziel obie strony przez $5$:

$$x = 12$$

Sprawdź wynik:

$$\frac{12}{20} = \frac{3}{5}$$

ponieważ oba ułamki upraszczają się do tej samej wartości. Zatem szukana liczba to $12$.

Jeśli wolisz zapis stosunku, to samo zadanie ma postać

$$3:5 = 12:20$$

Kolejność ma znaczenie. Zamiana jednej strony na $20:12$ opisywałaby inny stosunek.

Typowe błędy przy rozwiązywaniu proporcji

• Bez znaku równości nie ma proporcji. Jeśli w zadaniu nie jest powiedziane, że dwa stosunki są równe, mnożenie na krzyż może nie mieć zastosowania. Na przykład dodawanie ułamków nie jest proporcją.

• Zachowaj stałą kolejność wielkości. $2:3$ i $3:2$ to różne stosunki. Jeśli jedna strona porównuje mile do godzin, druga strona też musi porównywać mile do godzin.

• Sprawdź warunek dotyczący mianownika. Postać ułamkowa proporcji ma sens tylko wtedy, gdy mianowniki nie są równe zeru.

• Sprawdź odpowiedź w równaniu wyjściowym. Szybkie podstawienie zwykle wykrywa błędy rachunkowe szybciej niż ponowne rozwiązywanie całego zadania.

Kiedy proporcje są właściwym modelem

Proporcje pojawiają się wszędzie tam, gdzie jeden stosunek pozostaje stały. Typowe przykłady to ułamki równoważne, skale map, trójkąty podobne, przepisy kulinarne przeliczane w górę lub w dół oraz zadania z ceną, gdy koszt zmienia się w stałym tempie.

Ten warunek ma znaczenie. Jeśli zależność nie jest proporcjonalna, model proporcji może dać błędną odpowiedź, nawet jeśli obliczenia algebraiczne są poprawne.

Szybkie sprawdzenie przed mnożeniem na krzyż

Zanim użyjesz mnożenia na krzyż, zapytaj:

1. Czy naprawdę mam jeden stosunek równy drugiemu stosunkowi?
2. Czy wielkości są zapisane w tej samej kolejności po obu stronach?
3. Czy mianowniki są różne od zera?
4. Czy dana sytuacja rzeczywiście pozostaje proporcjonalna?

Te cztery sprawdzenia pozwalają uniknąć większości błędów początkujących.

Spróbuj podobnego zadania

Spróbuj rozwiązać

$$\frac{7}{9} = \frac{x}{27}$$

Następnie sprawdź odpowiedź, podstawiając ją z powrotem do proporcji. Jeśli chcesz pójść o krok dalej, przeanalizuj inny przypadek z jednostkami, na przykład skalę mapy albo zadanie z trójkątami podobnymi, i zobacz, czy ta sama struktura nadal działa.