Tỉ lệ thức — Cách giải bằng phép nhân chéo

Tỉ lệ thức là một phương trình cho biết hai tỉ số bằng nhau. Để giải một tỉ lệ thức như $\frac{a}{b} = \frac{c}{d}$, với $b \ne 0$ và $d \ne 0$, bạn có thể nhân chéo để được $ad = bc$ rồi giải phương trình đơn giản hơn đó.

Cách này chỉ đúng khi bạn thực sự có một tỉ số bằng một tỉ số khác. Nếu các đại lượng không tỉ lệ, hoặc nếu thứ tự các đại lượng bị thay đổi, phép nhân chéo có thể cho kết quả sai.

Tỉ lệ thức là gì

$$\frac{a}{b} = \frac{c}{d}$$

Tỉ số dùng để so sánh hai đại lượng theo một thứ tự cố định. Ví dụ, $2:3$ so sánh đại lượng thứ nhất với đại lượng thứ hai. Tỉ lệ thức nói rằng một tỉ số bằng một tỉ số khác:

$$2:3 = 4:6$$

Bạn cũng có thể viết cùng ý đó dưới dạng phân số:

$$\frac{2}{3} = \frac{4}{6}$$

Hai cách viết này có cùng ý nghĩa miễn là số hạng thứ hai trong mỗi tỉ số không bằng không.

Vì sao phép nhân chéo đúng

Bắt đầu với

$$\frac{a}{b} = \frac{c}{d}$$

trong đó $b \ne 0$ và $d \ne 0$. Nhân cả hai vế với $bd$:

$$bd \cdot \frac{a}{b} = bd \cdot \frac{c}{d}$$

Các mẫu số triệt tiêu, nên ta được

$$ad = bc$$

Đó chính là toàn bộ ý tưởng của phép nhân chéo. Đây không phải là một mẹo riêng biệt. Nó xuất phát từ việc nhân cả hai vế của một phương trình hai phân số bằng nhau với cùng một đại lượng khác $0$.

Giải tỉ lệ thức từng bước

Giải

$$\frac{3}{5} = \frac{x}{20}$$

Nhân chéo:

$$3 \times 20 = 5x$$

nên

$$60 = 5x$$

Chia cả hai vế cho $5$:

$$x = 12$$

Kiểm tra kết quả:

$$\frac{12}{20} = \frac{3}{5}$$

vì cả hai phân số đều rút gọn về cùng một giá trị. Vậy số còn thiếu là $12$.

Nếu bạn thích dùng kí hiệu tỉ số, bài toán này cũng có thể viết là

$$3:5 = 12:20$$

Thứ tự rất quan trọng. Nếu đổi một vế thành $20:12$ thì đó sẽ là một tỉ số khác.

Những lỗi thường gặp khi giải tỉ lệ thức

• Không có dấu bằng thì không phải tỉ lệ thức. Nếu bài toán không nói hai tỉ số bằng nhau, phép nhân chéo có thể không áp dụng được. Ví dụ, phép cộng phân số không phải là tỉ lệ thức.

• Giữ nguyên thứ tự các đại lượng. $2:3$ và $3:2$ là hai tỉ số khác nhau. Nếu một vế so sánh dặm với giờ, thì vế kia cũng phải so sánh dặm với giờ.

• Kiểm tra điều kiện mẫu số. Dạng phân số của tỉ lệ thức chỉ có nghĩa khi các mẫu số khác $0$.

• Kiểm tra đáp án trong phương trình ban đầu. Thay lại nhanh thường giúp phát hiện lỗi tính toán nhanh hơn là làm lại cả bài.

Khi nào tỉ lệ thức là mô hình phù hợp

Tỉ lệ thức xuất hiện khi một tỉ số được giữ không đổi. Những ví dụ quen thuộc gồm có các phân số bằng nhau, tỉ lệ bản đồ, tam giác đồng dạng, công thức nấu ăn được tăng hoặc giảm khẩu phần, và các bài toán giá tiền khi chi phí thay đổi theo một mức cố định.

Điều kiện này rất quan trọng. Nếu mối quan hệ không phải là quan hệ tỉ lệ, mô hình tỉ lệ thức có thể cho đáp án sai dù các bước đại số đều đúng.

Kiểm tra nhanh trước khi nhân chéo

Trước khi dùng phép nhân chéo, hãy tự hỏi:

1. Mình có thực sự có một tỉ số bằng một tỉ số khác không?
2. Các đại lượng có cùng thứ tự ở cả hai vế không?
3. Các mẫu số có khác $0$ không?
4. Tình huống này có thực sự giữ tính tỉ lệ không?

Bốn bước kiểm tra này giúp tránh được hầu hết các lỗi cơ bản.

Thử một bài tương tự

Hãy thử giải

$$\frac{7}{9} = \frac{x}{27}$$

Sau đó kiểm tra đáp án bằng cách thay ngược lại vào tỉ lệ thức. Nếu muốn đi thêm một bước, hãy thử một trường hợp khác có đơn vị, chẳng hạn như tỉ lệ bản đồ hoặc bài toán tam giác đồng dạng, và xem liệu cấu trúc này có còn đúng hay không.