Produit en croix

Le produit en croix est une méthode rapide pour résoudre une proportion, c’est-à-dire une équation où une fraction est égale à une autre fraction. Si

$$\frac{a}{b} = \frac{c}{d}$$

et $b \ne 0$ et $d \ne 0$, alors on peut la réécrire sous la forme

$$ad = bc$$

En termes simples, si deux fractions sont égales, alors les produits en diagonale sont égaux. Cela ne fonctionne que si l’on a bien une fraction égale à une fraction.

Ce que signifie le produit en croix

Le produit en croix s’applique à une proportion :

$$\frac{\text{something}}{\text{something}} = \frac{\text{something}}{\text{something}}$$

On multiplie en diagonale de part et d’autre du signe égal. Dans

$$\frac{a}{b} = \frac{c}{d}$$

les produits en croix sont $ad$ et $bc$.

Ce n’est pas une astuce magique indépendante. Cela vient du fait qu’on multiplie les deux membres par $bd$, ce qui élimine les deux dénominateurs lorsque $b \ne 0$ et $d \ne 0$.

Pourquoi le produit en croix fonctionne

Si deux fractions représentent la même valeur, elles expriment la même comparaison sous deux formes différentes.

Par exemple,

$$\frac{2}{3} = \frac{4}{6}$$

car les deux fractions se simplifient en le même rapport. Le produit en croix le confirme :

$$2 \cdot 6 = 12 \quad \text{and} \quad 3 \cdot 4 = 12$$

Des produits en croix égaux permettent de vérifier rapidement que deux fractions à dénominateurs non nuls sont égales.

Exemple de produit en croix

Résoudre

$$\frac{x}{5} = \frac{12}{15}$$

Multipliez en croix les diagonales :

$$15x = 5 \cdot 12$$

donc

$$15x = 60$$

Divisez maintenant les deux membres par $15$ :

$$x = 4$$

Vérifiez la réponse dans la proportion de départ :

$$\frac{4}{5} = \frac{12}{15}$$

Les deux côtés se simplifient en $\frac{4}{5}$, donc la solution est correcte.

Quand utiliser le produit en croix

Utilisez le produit en croix lorsque les deux membres sont des fractions et que ces fractions sont égales l’une à l’autre. Il faut aussi que chaque dénominateur soit non nul.

Par exemple, c’est valable dans

$$\frac{x+1}{4} = \frac{3}{10}$$

car c’est une proportion.

Mais toute équation contenant une fraction ne nécessite pas cette méthode. Dans

$$\frac{x}{5} = 7$$

il n’y a qu’une seule fraction, donc le plus simple est de multiplier les deux membres par $5$ et d’obtenir $x = 35$.

Erreurs fréquentes avec le produit en croix

Une erreur fréquente consiste à utiliser le produit en croix alors que l’équation n’est pas une proportion. La méthode s’applique à une fraction égale à une fraction, pas à toute équation qui contient une fraction.

Une autre erreur consiste à oublier les restrictions sur les dénominateurs. Si un dénominateur peut être égal à $0$, cette valeur doit être exclue. Par exemple, dans

$$\frac{x}{x-2} = \frac{3}{4}$$

il faut indiquer $x \ne 2$ avant de résoudre.

Une troisième erreur consiste à multiplier horizontalement au lieu de multiplier en diagonale. Dans

$$\frac{a}{b} = \frac{c}{d}$$

les produits en croix sont $ad$ et $bc$, et non $ab$ et $cd$.

Où le produit en croix est utilisé

Le produit en croix apparaît dans les proportions, les figures semblables, les dessins à l’échelle, les conversions d’unités et les problèmes de vitesse ou de taux. Il est utile lorsqu’une inconnue se trouve dans un rapport et que l’on veut conserver la même comparaison.

C’est aussi une manière rapide de vérifier si deux fractions sont équivalentes, à condition que les dénominateurs soient non nuls.

Essayez un problème similaire

Essayez votre propre version avec

$$\frac{y}{8} = \frac{9}{12}$$

Résolvez pour $y$, puis remplacez votre réponse dans la proportion de départ. Si vous voulez explorer un autre cas, essayez une proportion avec une variable au dénominateur et indiquez la restriction avant de résoudre.