Orantı — İçler Dışlar Çarpımı Nasıl Yapılır?

Orantı, iki oranın eşit olduğunu söyleyen bir denklemdir. $\frac{a}{b} = \frac{c}{d}$ gibi bir orantıyı çözmek için, $b \ne 0$ ve $d \ne 0$ koşuluyla, içler dışlar çarpımı yaparak $ad = bc$ elde edebilir ve sonra bu daha basit denklemi çözebilirsiniz.

Bu yöntem yalnızca gerçekten bir oranın başka bir orana eşit olduğu durumlarda çalışır. Nicelikler orantılı değilse ya da niceliklerin sırası değişirse, içler dışlar çarpımı yanlış sonuç verebilir.

Orantı nedir?

$$\frac{a}{b} = \frac{c}{d}$$

Oran, iki niceliği sabit bir sırayla karşılaştırır. Örneğin, $2:3$ ilk niceliği ikinci nicelikle karşılaştırır. Orantı ise bir oranın başka bir orana eşit olduğunu söyler:

$$2:3 = 4:6$$

Aynı fikri kesir olarak da yazabilirsiniz:

$$\frac{2}{3} = \frac{4}{6}$$

Her orandaki ikinci terim sıfır olmadığı sürece bu iki gösterim aynı anlama gelir.

İçler dışlar çarpımı neden çalışır?

Şununla başlayın:

$$\frac{a}{b} = \frac{c}{d}$$

burada $b \ne 0$ ve $d \ne 0$ olsun. Her iki tarafı da $bd$ ile çarpın:

$$bd \cdot \frac{a}{b} = bd \cdot \frac{c}{d}$$

Paydalar sadeleşir ve şu elde edilir:

$$ad = bc$$

İçler dışlar çarpımının arkasındaki fikir budur. Bu ayrı bir numara değildir. Eşit iki kesirden oluşan bir denklemin her iki tarafını da aynı sıfır olmayan nicelikle çarpmaktan gelir.

Bir orantıyı adım adım çözme

Çözün:

$$\frac{3}{5} = \frac{x}{20}$$

İçler dışlar çarpımı yapın:

$$3 \times 20 = 5x$$

buradan

$$60 = 5x$$

Her iki tarafı da $5$'e bölün:

$$x = 12$$

Sonucu kontrol edin:

$$\frac{12}{20} = \frac{3}{5}$$

çünkü her iki kesir de aynı değere sadeleşir. O hâlde eksik sayı $12$'dir.

Oran gösterimini tercih ederseniz, aynı problem şöyle yazılır:

$$3:5 = 12:20$$

Sıra önemlidir. Bir tarafı $20:12$ olarak değiştirmek farklı bir oranı ifade eder.

Orantı çözerken sık yapılan hatalar

• Eşitlik yoksa orantı da yoktur. Soruda iki oranın eşit olduğu söylenmiyorsa, içler dışlar çarpımı uygulanamayabilir. Örneğin, kesir toplama bir orantı değildir.

• Niceliklerin sırasını sabit tutun. $2:3$ ve $3:2$ farklı oranlardır. Bir taraf mil ile saati karşılaştırıyorsa, diğer taraf da mil ile saati karşılaştırmalıdır.

• Payda koşulunu kontrol edin. Orantının kesir biçimi yalnızca paydalar sıfır değilse anlamlıdır.

• Cevabınızı ilk denklemde kontrol edin. Hızlı bir yerine koyma işlemi, tüm soruyu baştan çözmekten daha hızlı biçimde işlem hatalarını yakalar.

Orantılar ne zaman doğru modeldir?

Orantılar, bir oran sabit kaldığında ortaya çıkar. Yaygın örnekler arasında denk kesirler, harita ölçekleri, benzer üçgenler, büyütülen ya da küçültülen tarifler ve maliyetin sabit bir oranda değiştiği fiyat problemleri vardır.

Bu koşul önemlidir. İlişki orantılı değilse, cebir doğru olsa bile orantı modeli yanlış cevap verebilir.

İçler dışlar çarpımı yapmadan önce hızlı kontrol

İçler dışlar çarpımını kullanmadan önce şunları sorun:

1. Gerçekten bir oran başka bir orana eşit mi?
2. Nicelikler her iki tarafta da aynı sırada mı?
3. Paydalar sıfırdan farklı mı?
4. Durum gerçekten orantılı mı kalıyor?

Bu dört kontrol, başlangıç düzeyindeki hataların çoğunu önler.

Benzer bir soru deneyin

Şunu çözmeyi deneyin:

$$\frac{7}{9} = \frac{x}{27}$$

Sonra cevabınızı orantıda yerine koyarak kontrol edin. Bir adım daha ileri gitmek isterseniz, harita ölçeği ya da benzer üçgen sorusu gibi birim içeren başka bir durumu inceleyin ve aynı yapının yine geçerli olup olmadığına bakın.