Proporciones — Cómo resolver con multiplicación cruzada

Una proporción es una ecuación que dice que dos razones son iguales. Para resolver una proporción como $\frac{a}{b} = \frac{c}{d}$, con $b \ne 0$ y $d \ne 0$, puedes usar la multiplicación cruzada para obtener $ad = bc$ y luego resolver la ecuación más simple.

Ese método solo funciona cuando de verdad tienes una razón igual a otra razón. Si las cantidades no son proporcionales, o si cambia el orden de las cantidades, la multiplicación cruzada puede dar un resultado incorrecto.

Qué es una proporción

$$\frac{a}{b} = \frac{c}{d}$$

Una razón compara dos cantidades en un orden fijo. Por ejemplo, $2:3$ compara la primera cantidad con la segunda cantidad. Una proporción dice que una razón es igual a otra razón:

$$2:3 = 4:6$$

También puedes escribir la misma idea como fracciones:

$$\frac{2}{3} = \frac{4}{6}$$

Estas dos formas significan lo mismo siempre que el segundo término de cada razón no sea cero.

Por qué funciona la multiplicación cruzada

Empieza con

$$\frac{a}{b} = \frac{c}{d}$$

donde $b \ne 0$ y $d \ne 0$. Multiplica ambos lados por $bd$:

$$bd \cdot \frac{a}{b} = bd \cdot \frac{c}{d}$$

Los denominadores se cancelan, así que obtienes

$$ad = bc$$

Esa es toda la idea detrás de la multiplicación cruzada. No es un truco aparte. Surge de multiplicar ambos lados de una ecuación de fracciones iguales por la misma cantidad distinta de cero.

Resuelve una proporción paso a paso

Resuelve

$$\frac{3}{5} = \frac{x}{20}$$

Multiplica en cruz:

$$3 \times 20 = 5x$$

así que

$$60 = 5x$$

Divide ambos lados entre $5$:

$$x = 12$$

Comprueba el resultado:

$$\frac{12}{20} = \frac{3}{5}$$

porque ambas fracciones se simplifican al mismo valor. Entonces, el número que falta es $12$.

Si prefieres la notación de razón, este mismo problema es

$$3:5 = 12:20$$

El orden importa. Cambiar un lado a $20:12$ describiría una razón diferente.

Errores comunes al resolver proporciones

• Sin igualdad, no hay proporción. Si el problema no dice que dos razones son iguales, la multiplicación cruzada puede no aplicarse. Por ejemplo, sumar fracciones no es una proporción.

• Mantén fijo el orden de las cantidades. $2:3$ y $3:2$ son razones diferentes. Si un lado compara millas con horas, el otro lado también debe comparar millas con horas.

• Revisa la condición del denominador. La forma de fracción de una proporción solo tiene sentido cuando los denominadores no son cero.

• Comprueba tu respuesta en la ecuación original. Una sustitución rápida suele detectar errores aritméticos más rápido que rehacer todo el problema.

Cuándo las proporciones son el modelo correcto

Las proporciones aparecen siempre que una razón se mantiene constante. Algunos ejemplos comunes incluyen fracciones equivalentes, escalas de mapas, triángulos semejantes, recetas que se aumentan o reducen, y problemas de precio donde el costo cambia a una tasa constante.

Esa condición importa. Si la relación no es proporcional, un modelo de proporción puede dar una respuesta incorrecta incluso cuando el álgebra es correcta.

Revisión rápida antes de multiplicar en cruz

Antes de usar la multiplicación cruzada, pregúntate:

1. ¿De verdad tengo una razón igual a otra razón?
2. ¿Las cantidades están en el mismo orden en ambos lados?
3. ¿Los denominadores son distintos de cero?
4. ¿La situación realmente se mantiene proporcional?

Estas cuatro comprobaciones evitan la mayoría de los errores de principiantes.

Prueba un problema similar

Intenta resolver

$$\frac{7}{9} = \frac{x}{27}$$

Luego comprueba tu respuesta sustituyéndola de nuevo en la proporción. Si quieres ir un paso más allá, explora otro caso con unidades, como una escala de mapa o un problema de triángulos semejantes, y observa si la misma estructura se sigue cumpliendo.