Taux unitaires — comment les calculer et résoudre des problèmes concrets

Un taux unitaire indique combien il y a pour exactement $1$ unité d’une autre grandeur. Si des pommes coûtent $12$ dollars pour $3$ livres, le taux unitaire donne le coût pour $1$ livre.

Pour trouver un taux unitaire, on divise par la quantité que l’on veut transformer en $1$. Dans l’exemple des pommes, on divise les dollars par les livres :

$$\frac{12 \text{ dollars}}{3 \text{ pounds}} = 4 \text{ dollars per pound}$$

C’est important, car la forme « pour $1$ » est la plus simple à comparer.

Qu’est-ce qu’un taux unitaire ?

Un taux compare deux quantités avec des unités différentes, comme des miles et des heures ou des dollars et des livres. Un taux unitaire est cette même comparaison réécrite de sorte que l’une des quantités soit égale à $1$.

Cela signifie :

$$\text{unit rate} = \frac{\text{first quantity}}{\text{second quantity}}$$

lorsqu’on veut une réponse « pour $1$ » de la deuxième quantité. La deuxième quantité ne doit pas être $0$, car la division par $0$ n’est pas définie.

Donc :

$$\frac{12 \text{ dollars}}{3 \text{ pounds}} = \frac{4 \text{ dollars}}{1 \text{ pound}}$$

et le taux unitaire est de $4$ dollars par livre.

Pourquoi les taux unitaires facilitent les comparaisons

Les taux unitaires transforment des comparaisons compliquées en un format commun. Au lieu de comparer « $12$ dollars pour $3$ livres » avec « $15$ dollars pour $4$ livres », on peut comparer directement le coût par livre.

La même idée apparaît pour la vitesse, le salaire, la consommation de carburant et les prix. Une voiture peut parcourir des miles par heure, un employé peut gagner des dollars par heure, et un magasin peut afficher un prix par once.

Exemple résolu : quel lot de cahiers est le plus avantageux ?

Supposons qu’un magasin vende $3$ cahiers pour $12$, et qu’un autre en vende $5$ pour $18$. Quelle offre est la moins chère par cahier ?

Calculez le coût pour $1$ cahier dans chaque magasin.

$$\frac{12 \text{ dollars}}{3 \text{ notebooks}} = 4 \text{ dollars per notebook}$$

et

$$\frac{18 \text{ dollars}}{5 \text{ notebooks}} = 3.6 \text{ dollars per notebook}$$

La comparaison est maintenant claire : $3.6$ dollars par cahier est inférieur à $4$ dollars par cahier, donc la deuxième offre est la plus avantageuse.

C’est le schéma de la plupart des problèmes de taux unitaires. Réécrivez chaque option sous la forme « coût pour $1$ article », « distance en $1$ heure » ou une autre forme « pour $1$ », puis comparez.

Comment trouver un taux unitaire

1. Repérez les deux quantités et leurs unités.
2. Décidez quelle quantité doit être écrite pour $1$ de l’autre.
3. Divisez par la quantité que vous voulez transformer en $1$.
4. Gardez les unités dans la réponse.
5. Vérifiez si le résultat correspond à la situation.

Si le problème demande des miles par heure, divisez les miles par les heures. S’il demande des dollars par livre, divisez les dollars par les livres. La formulation est importante, car elle indique quelle quantité doit être au numérateur.

Erreurs fréquentes dans les problèmes de taux unitaires

Inverser l’ordre

Si un problème demande des dollars par cahier, la réponse doit être des dollars divisés par des cahiers, et non des cahiers divisés par des dollars. Inverser le taux en change le sens.

Oublier les unités

Le nombre seul ne suffit pas. Un résultat de $4$ peut signifier $4$ dollars par cahier, $4$ miles par heure, ou tout autre chose.

Comparer les totaux au lieu des taux unitaires

Un prix total plus élevé ne signifie pas toujours une moins bonne affaire. Il faut d’abord comparer le prix pour $1$ article ou pour $1$ unité.

Diviser par la mauvaise quantité

Le dénominateur doit correspondre à la quantité que vous voulez transformer en $1$. Si vous voulez « par heure », divisez par les heures. Si vous voulez « par livre », divisez par les livres.

Où utilise-t-on les taux unitaires ?

Les taux unitaires apparaissent dans les achats, les déplacements, les salaires, les recettes, les statistiques sportives et les sciences. Ils sont particulièrement utiles lorsque deux options existent dans des formats différents ou sur des durées différentes.

Ils se relient aussi naturellement à la conversion d’unités. Quand vous suivez bien les unités, vous pouvez vérifier si votre mise en place correspond au sens du problème.

Essayez un problème similaire

Essayez votre propre version avec des courses, du carburant ou un salaire horaire. Réécrivez chaque choix comme un taux pour $1$ unité, puis comparez les résultats. Si vous voulez travailler une autre compétence de maths du quotidien, explorez un problème similaire sur les proportions.