比例式——如何用交叉相乘求解

比例式是表示两个比相等的方程。要解像 $\frac{a}{b} = \frac{c}{d}$ 这样的比例式，在 $b \ne 0$ 且 $d \ne 0$ 时，可以用交叉相乘得到 $ad = bc$，再去解这个更简单的方程。

这种方法只有在你确实是“一个比等于另一个比”时才成立。如果这些量不成比例，或者量的顺序发生了变化，交叉相乘就可能得到错误结果。

什么是比例式

$$\frac{a}{b} = \frac{c}{d}$$

比是在固定顺序下比较两个量。例如，$2:3$ 表示第一个量与第二个量的比较。比例式表示一个比等于另一个比：

$$2:3 = 4:6$$

你也可以把同样的意思写成分数形式：

$$\frac{2}{3} = \frac{4}{6}$$

只要每个比中的第二项不为零，这两种写法表示的意思就是一样的。

为什么交叉相乘成立

从

$$\frac{a}{b} = \frac{c}{d}$$

开始，其中 $b \ne 0$ 且 $d \ne 0$。两边同时乘以 $bd$：

$$bd \cdot \frac{a}{b} = bd \cdot \frac{c}{d}$$

分母约掉后，得到

$$ad = bc$$

这就是交叉相乘背后的全部原理。它并不是一个单独的技巧，而是把等式两边同时乘以同一个非零量得到的结果。

一步一步解比例式

解

$$\frac{3}{5} = \frac{x}{20}$$

交叉相乘：

$$3 \times 20 = 5x$$

所以

$$60 = 5x$$

两边同时除以 $5$：

$$x = 12$$

检验结果：

$$\frac{12}{20} = \frac{3}{5}$$

因为这两个分数都可以化简成同一个值，所以缺少的数是 $12$。

如果你更喜欢用比的写法，这道题也可以写成

$$3:5 = 12:20$$

顺序很重要。如果把一边换成 $20:12$，表示的就是另一个不同的比。

解比例式时的常见错误

• 没有相等关系，就不是比例式。如果题目没有说明两个比相等，就不一定能用交叉相乘。例如，分数加法就不是比例式。

• 保持量的顺序不变。$2:3$ 和 $3:2$ 是不同的比。如果一边比较的是“英里 : 小时”，另一边也必须比较“英里 : 小时”。

• 检查分母条件。比例式写成分数形式时，只有在分母不为零时才有意义。

• 把答案代回原方程检验。快速代入通常比把整道题重做一遍更容易发现计算错误。

什么时候适合用比例式建模

当一个比保持不变时，就会出现比例式。常见例子包括等值分数、地图比例尺、相似三角形、按比例增减的食谱，以及单价保持不变的价格问题。

这个条件很重要。如果关系本身不是成比例的，那么即使代数计算过程正确，用比例式建模也可能得到错误答案。

交叉相乘前的快速检查

在使用交叉相乘之前，先问自己：

1. 我这里真的是一个比等于另一个比吗？
2. 两边的量顺序是否一致？
3. 分母都不为零吗？
4. 这个情境中的关系真的保持成比例吗？

这四项检查可以避免大多数初学者常见错误。

试试类似的题目

试着解

$$\frac{7}{9} = \frac{x}{27}$$

然后把你的答案代回比例式中进行检验。如果你想再进一步，可以尝试一个带单位的例子，比如地图比例尺或相似三角形问题，看看同样的结构是否依然成立。