Proporções — Como Resolver por Multiplicação Cruzada

Uma proporção é uma equação que diz que duas razões são iguais. Para resolver uma proporção como $\frac{a}{b} = \frac{c}{d}$, com $b \ne 0$ e $d \ne 0$, você pode fazer a multiplicação cruzada para obter $ad = bc$ e depois resolver a equação mais simples.

Esse método só funciona quando você realmente tem uma razão igual a outra razão. Se as quantidades não forem proporcionais, ou se a ordem das quantidades mudar, a multiplicação cruzada pode dar o resultado errado.

O que é uma proporção

$$\frac{a}{b} = \frac{c}{d}$$

Uma razão compara duas quantidades em uma ordem fixa. Por exemplo, $2:3$ compara a primeira quantidade com a segunda. Uma proporção diz que uma razão é igual a outra razão:

$$2:3 = 4:6$$

Você também pode escrever a mesma ideia como frações:

$$\frac{2}{3} = \frac{4}{6}$$

Essas duas formas significam a mesma coisa, desde que o segundo termo de cada razão não seja zero.

Por que a multiplicação cruzada funciona

Comece com

$$\frac{a}{b} = \frac{c}{d}$$

onde $b \ne 0$ e $d \ne 0$. Multiplique os dois lados por $bd$:

$$bd \cdot \frac{a}{b} = bd \cdot \frac{c}{d}$$

Os denominadores se cancelam, então você obtém

$$ad = bc$$

Essa é toda a ideia por trás da multiplicação cruzada. Não é um truque separado. Ela vem de multiplicar os dois lados de uma equação de frações iguais pela mesma quantidade não nula.

Resolva uma proporção passo a passo

Resolva

$$\frac{3}{5} = \frac{x}{20}$$

Faça a multiplicação cruzada:

$$3 \times 20 = 5x$$

então

$$60 = 5x$$

Divida os dois lados por $5$:

$$x = 12$$

Verifique o resultado:

$$\frac{12}{20} = \frac{3}{5}$$

porque as duas frações se simplificam para o mesmo valor. Portanto, o número que faltava é $12$.

Se você preferir a notação de razão, esse mesmo problema é

$$3:5 = 12:20$$

A ordem importa. Trocar um dos lados para $20:12$ descreveria uma razão diferente.

Erros comuns ao resolver proporções

• Sem igualdade, sem proporção. Se o problema não disser que duas razões são iguais, a multiplicação cruzada pode não se aplicar. Por exemplo, somar frações não é uma proporção.

• Mantenha a ordem das quantidades fixa. $2:3$ e $3:2$ são razões diferentes. Se um lado compara milhas com horas, o outro lado também deve comparar milhas com horas.

• Verifique a condição do denominador. A forma fracionária de uma proporção só faz sentido quando os denominadores não são zero.

• Confira sua resposta na equação original. Uma substituição rápida geralmente encontra erros de conta mais rápido do que refazer o problema inteiro.

Quando proporções são o modelo certo

As proporções aparecem sempre que uma razão permanece constante. Exemplos comuns incluem frações equivalentes, escalas de mapas, triângulos semelhantes, receitas aumentadas ou reduzidas e problemas de preço em que o custo muda a uma taxa constante.

Essa condição é importante. Se a relação não for proporcional, um modelo de proporção pode dar a resposta errada mesmo quando a álgebra está correta.

Verificação rápida antes de fazer a multiplicação cruzada

Antes de usar a multiplicação cruzada, pergunte:

1. Eu realmente tenho uma razão igual a outra razão?
2. As quantidades estão na mesma ordem nos dois lados?
3. Os denominadores são diferentes de zero?
4. A situação realmente permanece proporcional?

Essas quatro verificações evitam a maioria dos erros de iniciantes.

Tente um problema parecido

Tente resolver

$$\frac{7}{9} = \frac{x}{27}$$

Depois confira sua resposta substituindo-a de volta na proporção. Se quiser ir um passo além, explore outro caso com unidades, como uma escala de mapa ou um problema de triângulos semelhantes, e veja se a mesma estrutura continua valendo.