Proportion directe et inverse — Formules et exemples

La proportion directe signifie que deux grandeurs varient selon le même facteur, donc leur rapport reste constant. La proportion inverse signifie qu’une grandeur augmente pendant que l’autre diminue de façon à garder le produit constant. En bref, la proportion directe utilise $y = kx$, tandis que la proportion inverse utilise $y = \frac{k}{x}$.

Proportion directe ou inverse en un coup d’œil

Si deux grandeurs sont en proportion directe, doubler l’une double l’autre. Si elles sont en proportion inverse, doubler l’une divise l’autre par deux.

Les formules usuelles sont :

$$y = kx$$

pour la proportion directe, et

$$y = \frac{k}{x}$$

pour la proportion inverse, où $k$ est une constante et $x \ne 0$.

Le test le plus rapide est :

• Proportion directe : $\frac{y}{x}$ reste constant.
• Proportion inverse : $xy$ reste constant.

Ce que signifie la proportion directe

Dans une proportion directe, une grandeur est toujours un multiple fixe de l’autre. Si des stylos coûtent $2$ dollars chacun, alors le coût total $C$ est directement proportionnel au nombre de stylos $n$ :

$$C = 2n$$

Ici, la constante de proportionnalité est $k = 2$. Le rapport $\frac{C}{n}$ reste égal à $2$ tant que le prix unitaire ne change pas.

Cette condition est importante. S’il y a des frais de livraison fixes ou une remise sur quantité, la relation n’est plus une proportion directe.

Ce que signifie la proportion inverse

Dans une proportion inverse, c’est le produit qui reste fixe au lieu du rapport. Un exemple courant est le temps et le nombre de travailleurs pour effectuer le même travail, si chaque travailleur avance au même rythme et qu’on ignore les pertes de coordination.

Si $w$ est le nombre de travailleurs et $t$ le temps, alors

$$wt = k$$

Donc, doubler le nombre de travailleurs divise le temps par deux.

Ce n’est un modèle de proportion inverse que si la quantité totale de travail reste fixe et que tous les travailleurs sont aussi efficaces les uns que les autres. Dans les projets réels, ajouter des travailleurs ne réduit pas toujours parfaitement le temps.

Exemple corrigé : proportion directe ou inverse

La différence est plus facile à voir en les comparant côte à côte.

Exemple de proportion directe

Supposons que $4$ cahiers coûtent $12$ dollars à prix fixe.

Le coût par cahier est

$$k = \frac{12}{4} = 3$$

Donc la formule de proportion directe est

$$C = 3n$$

Si vous achetez $7$ cahiers, alors

$$C = 3(7) = 21$$

Donc $7$ cahiers coûtent $21$ dollars.

Exemple de proportion inverse

Supposons maintenant que $4$ travailleurs peuvent terminer le même travail en $6$ heures, avec des rythmes de travail égaux et la même quantité totale de travail.

Le produit constant est

$$k = wt = 4 \cdot 6 = 24$$

Donc la formule de proportion inverse est

$$t = \frac{24}{w}$$

Si $8$ travailleurs effectuent le travail, alors

$$t = \frac{24}{8} = 3$$

Donc le travail prend $3$ heures.

L’opposition essentielle est la suivante :

• Dans le cas direct, le rapport est resté constant : $\frac{12}{4} = \frac{21}{7} = 3$.
• Dans le cas inverse, le produit est resté constant : $4 \cdot 6 = 8 \cdot 3 = 24$.

Erreurs fréquentes avec la proportion directe et inverse

Prendre toute relation croissante pour une proportion directe

Toute relation croissante n’est pas une proportion directe. Pour qu’il y ait proportion directe, le rapport doit rester constant et le modèle doit être de la forme $y = kx$.

Par exemple, $y = x + 5$ augmente quand $x$ augmente, mais ce n’est pas une proportion directe parce que $\frac{y}{x}$ n’est pas constant.

Prendre toute relation décroissante pour une proportion inverse

Toute relation décroissante n’est pas une proportion inverse. Pour qu’il y ait proportion inverse, le produit doit rester constant.

Par exemple, $y = 10 - x$ diminue, mais $xy$ ne reste pas constant, donc ce n’est pas une proportion inverse.

Oublier la condition qui permet au modèle de fonctionner

Ces formules dépendent d’une situation qui reste simple. Un prix unitaire fixe permet une proportion directe. Une quantité totale de travail fixe avec un rythme identique pour chaque travailleur permet une proportion inverse. Si cette condition change, le modèle peut ne plus fonctionner.

Où la proportion directe et inverse est utilisée

La proportion directe apparaît dans les achats à prix constant, les échelles sur les cartes, les conversions d’unités et la distance parcourue à vitesse fixe.

La proportion inverse apparaît dans les problèmes de cadence de travail, la vitesse et le temps de trajet pour une distance fixe, ainsi que dans des relations simples en physique où une grandeur doit diminuer pour qu’une autre reste fixe.

Dans les deux cas, la compétence essentielle consiste à repérer ce qui reste constant.

Comment savoir si une relation est directe ou inverse

Si vous hésitez sur le modèle qui convient, testez d’abord une paire de valeurs connue.

1. Calculez $\frac{y}{x}$. Si cette valeur reste la même pour des données valides, pensez à une proportion directe.
2. Calculez $xy$. Si c’est cette valeur qui reste la même, pensez à une proportion inverse.
3. Si aucune des deux ne reste constante, la relation n’est probablement ni l’une ni l’autre.

Essayez un problème similaire

Changez un nombre dans chaque exemple en gardant la même condition. Pour l’exemple des cahiers, changez le prix unitaire. Pour l’exemple des travailleurs, changez le nombre de travailleurs et vérifiez si le produit reste bien fixe.