Αναλογίες — Πώς να λύνεις με χιαστί πολλαπλασιασμό

Μια αναλογία είναι μια εξίσωση που λέει ότι δύο λόγοι είναι ίσοι. Για να λύσεις μια αναλογία όπως $\frac{a}{b} = \frac{c}{d}$, με $b \ne 0$ και $d \ne 0$, μπορείς να κάνεις χιαστί πολλαπλασιασμό ώστε να πάρεις $ad = bc$ και μετά να λύσεις την απλούστερη εξίσωση.

Αυτή η μέθοδος λειτουργεί μόνο όταν πράγματι έχεις έναν λόγο ίσο με έναν άλλο λόγο. Αν τα μεγέθη δεν είναι ανάλογα ή αν αλλάξει η σειρά των μεγεθών, ο χιαστί πολλαπλασιασμός μπορεί να δώσει λάθος αποτέλεσμα.

Τι είναι μια αναλογία

$$\frac{a}{b} = \frac{c}{d}$$

Ένας λόγος συγκρίνει δύο μεγέθη με σταθερή σειρά. Για παράδειγμα, το $2:3$ συγκρίνει το πρώτο μέγεθος με το δεύτερο μέγεθος. Μια αναλογία λέει ότι ένας λόγος είναι ίσος με έναν άλλο λόγο:

$$2:3 = 4:6$$

Μπορείς επίσης να γράψεις την ίδια ιδέα ως κλάσματα:

$$\frac{2}{3} = \frac{4}{6}$$

Αυτές οι δύο μορφές σημαίνουν το ίδιο πράγμα, αρκεί ο δεύτερος όρος σε κάθε λόγο να μην είναι μηδέν.

Γιατί λειτουργεί ο χιαστί πολλαπλασιασμός

Ξεκίνα με

$$\frac{a}{b} = \frac{c}{d}$$

όπου $b \ne 0$ και $d \ne 0$. Πολλαπλασίασε και τις δύο πλευρές με $bd$:

$$bd \cdot \frac{a}{b} = bd \cdot \frac{c}{d}$$

Οι παρονομαστές απλοποιούνται, οπότε παίρνεις

$$ad = bc$$

Αυτή είναι όλη η ιδέα πίσω από τον χιαστί πολλαπλασιασμό. Δεν είναι κάποιο ξεχωριστό τέχνασμα. Προκύπτει από τον πολλαπλασιασμό και των δύο πλευρών μιας εξίσωσης ίσων κλασμάτων με την ίδια μη μηδενική ποσότητα.

Λύσε μια αναλογία βήμα βήμα

Λύσε την

$$\frac{3}{5} = \frac{x}{20}$$

Κάνε χιαστί πολλαπλασιασμό:

$$3 \times 20 = 5x$$

οπότε

$$60 = 5x$$

Διαίρεσε και τις δύο πλευρές με $5$:

$$x = 12$$

Έλεγξε το αποτέλεσμα:

$$\frac{12}{20} = \frac{3}{5}$$

γιατί και τα δύο κλάσματα απλοποιούνται στην ίδια τιμή. Άρα ο άγνωστος αριθμός είναι $12$.

Αν προτιμάς τη γραφή με λόγους, το ίδιο πρόβλημα είναι

$$3:5 = 12:20$$

Η σειρά έχει σημασία. Αν αλλάξεις τη μία πλευρά σε $20:12$, θα περιγράφει διαφορετικό λόγο.

Συνηθισμένα λάθη όταν λύνεις αναλογίες

• Χωρίς ισότητα, δεν υπάρχει αναλογία. Αν η άσκηση δεν λέει ότι δύο λόγοι είναι ίσοι, ο χιαστί πολλαπλασιασμός μπορεί να μην εφαρμόζεται. Για παράδειγμα, η πρόσθεση κλασμάτων δεν είναι αναλογία.

• Κράτα σταθερή τη σειρά των μεγεθών. Τα $2:3$ και $3:2$ είναι διαφορετικοί λόγοι. Αν η μία πλευρά συγκρίνει μίλια με ώρες, η άλλη πλευρά πρέπει επίσης να συγκρίνει μίλια με ώρες.

• Έλεγξε τη συνθήκη του παρονομαστή. Η μορφή κλάσματος μιας αναλογίας έχει νόημα μόνο όταν οι παρονομαστές δεν είναι μηδέν.

• Έλεγξε την απάντησή σου στην αρχική εξίσωση. Μια γρήγορη αντικατάσταση συνήθως εντοπίζει τα αριθμητικά λάθη πιο γρήγορα από το να ξανακάνεις όλη την άσκηση.

Πότε οι αναλογίες είναι το σωστό μοντέλο

Οι αναλογίες εμφανίζονται κάθε φορά που ένας λόγος παραμένει σταθερός. Συνηθισμένα παραδείγματα είναι τα ισοδύναμα κλάσματα, οι κλίμακες χαρτών, τα όμοια τρίγωνα, οι συνταγές που αυξάνονται ή μειώνονται αναλογικά και τα προβλήματα τιμών όπου το κόστος αλλάζει με σταθερό ρυθμό.

Αυτή η συνθήκη είναι σημαντική. Αν η σχέση δεν είναι ανάλογη, ένα μοντέλο αναλογίας μπορεί να δώσει λάθος απάντηση ακόμη κι αν η άλγεβρα είναι σωστή.

Γρήγορος έλεγχος πριν κάνεις χιαστί πολλαπλασιασμό

Πριν χρησιμοποιήσεις χιαστί πολλαπλασιασμό, ρώτησε:

1. Έχω πράγματι έναν λόγο ίσο με έναν άλλο λόγο;
2. Είναι τα μεγέθη στην ίδια σειρά και στις δύο πλευρές;
3. Είναι οι παρονομαστές διάφοροι του μηδενός;
4. Παραμένει πράγματι ανάλογη η κατάσταση;

Αυτοί οι τέσσερις έλεγχοι αποτρέπουν τα περισσότερα λάθη των αρχαρίων.

Δοκίμασε ένα παρόμοιο πρόβλημα

Δοκίμασε να λύσεις την

$$\frac{7}{9} = \frac{x}{27}$$

Έπειτα έλεγξε την απάντησή σου αντικαθιστώντας την ξανά στην αναλογία. Αν θέλεις να προχωρήσεις ένα βήμα παραπέρα, εξέτασε μια άλλη περίπτωση με μονάδες, όπως μια κλίμακα χάρτη ή ένα πρόβλημα με όμοια τρίγωνα, και δες αν η ίδια δομή εξακολουθεί να ισχύει.