비례식 — 교차곱으로 푸는 방법

비례식은 두 비가 같다는 것을 나타내는 방정식입니다. 예를 들어 $\frac{a}{b} = \frac{c}{d}$ 에서 $b \ne 0$ , $d \ne 0$ 이면, 교차곱을 해서 $ad = bc$ 를 얻고 더 간단한 방정식으로 바꿔 풀 수 있습니다.

이 방법은 정말로 하나의 비가 다른 하나의 비와 같을 때만 쓸 수 있습니다. 양들이 비례하지 않거나 양의 순서가 바뀌면, 교차곱을 해도 잘못된 결과가 나올 수 있습니다.

비례식이란 무엇인가

\frac{a}{b} = \frac{c}{d}

비는 두 양을 정해진 순서로 비교합니다. 예를 들어 $2:3$ 은 첫 번째 양과 두 번째 양을 비교한 것입니다. 비례식은 한 비가 다른 비와 같다는 뜻입니다.

2:3 = 4:6

같은 내용을 분수로도 쓸 수 있습니다.

\frac{2}{3} = \frac{4}{6}

각 비의 둘째 항이 0이 아니라면, 이 두 표현은 같은 뜻입니다.

다음 식에서 시작합니다.

\frac{a}{b} = \frac{c}{d}

여기서 $b \ne 0$ , $d \ne 0$ 입니다. 양변에 $bd$ 를 곱하면

bd \cdot \frac{a}{b} = bd \cdot \frac{c}{d}

분모가 약분되어

ad = bc

를 얻습니다.

이것이 교차곱의 핵심입니다. 교차곱은 따로 떨어진 요령이 아닙니다. 같은 분수식의 양변에 같은 0이 아닌 수를 곱해서 나오는 결과입니다.

다음을 풉니다.

\frac{3}{5} = \frac{x}{20}

교차곱하면

3 \times 20 = 5x

따라서

60 = 5x

양변을 $5$ 로 나누면

x = 12

결과를 확인해 보면

\frac{12}{20} = \frac{3}{5}

이고, 두 분수는 모두 같은 값으로 약분됩니다. 따라서 구하는 수는 $12$ 입니다.

비의 기호로 쓰면 이 문제는

3:5 = 12:20

와 같습니다.

순서는 중요합니다. 한쪽을 $20:12$ 로 바꾸면 다른 비를 나타내게 됩니다.

등식이 없으면 비례식도 아닙니다. 문제에서 두 비가 같다고 하지 않았다면 교차곱을 적용할 수 없을 수 있습니다. 예를 들어 분수의 덧셈은 비례식이 아닙니다.
양의 순서를 그대로 유지하세요. $2:3$ 과 $3:2$ 는 서로 다른 비입니다. 한쪽이 거리와 시간을 비교한다면, 다른 쪽도 거리와 시간을 같은 순서로 비교해야 합니다.
분모 조건을 확인하세요. 비례식을 분수 형태로 쓸 때는 분모가 0이 아니어야만 의미가 있습니다.
원래 식에 답을 대입해 확인하세요. 간단히 대입해 보면 처음부터 다시 풀지 않아도 계산 실수를 빨리 찾을 수 있습니다.

비례식은 하나의 비가 일정하게 유지될 때 나타납니다. 대표적인 예로는 동치분수, 지도 축척, 닮은삼각형, 양을 늘리거나 줄인 요리법, 그리고 비용이 일정한 비율로 변하는 가격 문제가 있습니다.

이 조건은 중요합니다. 관계가 비례가 아니라면, 계산 과정이 맞더라도 비례식 모델은 틀린 답을 줄 수 있습니다.

교차곱을 쓰기 전에 다음을 물어보세요.

이 네 가지를 확인하면 초보자가 하는 대부분의 실수를 막을 수 있습니다.

다음을 풀어 보세요.

\frac{7}{9} = \frac{x}{27}

그다음 답을 다시 비례식에 대입해 확인해 보세요. 한 걸음 더 나아가고 싶다면, 지도 축척이나 닮은삼각형처럼 단위가 있는 다른 경우도 살펴보면서 같은 구조가 그대로 성립하는지 확인해 보세요.

문제를 올리면 검증된 단계별 풀이를 몇 초 만에 받을 수 있습니다.