Ratio — simplification, comparaison et problèmes

Un ratio compare deux quantités dans un ordre précis. Si une classe compte $12$ filles et $8$ garçons, le ratio filles:garçons est $12:8$, ce qui se simplifie en $3:2$.

Cela ne veut pas dire qu’il n’y a que $3$ filles et $2$ garçons. Cela signifie que la comparaison est équivalente : pour $3$ filles, il y a $2$ garçons.

Ce que signifie un ratio en mathématiques

Un ratio montre comment une quantité est liée à une autre. On peut l’écrire sous la forme $a:b$, le lire « a pour b », ou l’écrire $\frac{a}{b}$ lorsqu’on considère la comparaison comme un quotient et que $b \neq 0$.

L’ordre est important. Le ratio $3:2$ n’est pas le même que $2:3$, car le premier nombre correspond toujours à la première quantité nommée.

Les ratios fonctionnent mieux lorsque les deux quantités mesurent le même type de chose, ou lorsqu’on les convertit d’abord dans la même unité. Pour comparer $2$ mètres et $50$ centimètres, on convertit d’abord :

$$2 \text{ m} = 200 \text{ cm}$$

Le ratio est donc

$$200:50 = 4:1$$

Comment simplifier des ratios

Pour simplifier un ratio, on divise les deux termes par le même facteur commun. C’est proche de la simplification d’une fraction, mais on conserve l’écriture sous forme de ratio.

Par exemple :

$$12:8 = 3:2$$

car les deux termes sont divisibles par $4$ :

$$12 \div 4 = 3, \qquad 8 \div 4 = 2$$

Le ratio simplifié conserve la même comparaison. Il est plus facile à lire, mais il ne change pas la relation.

Si les deux nombres n’ont aucun facteur commun supérieur à $1$, le ratio est déjà sous sa forme la plus simple.

Exemple de ratio : résoudre un problème

Supposons qu’un mélange de peinture utilise du rouge et du bleu dans le ratio $2:3$. Si vous utilisez $10$ tasses de peinture rouge, de combien de tasses de peinture bleue avez-vous besoin ?

Le ratio indique qu’il y a $2$ parts de rouge pour $3$ parts de bleu.

Si le rouge passe de $2$ parts à $10$ tasses, le coefficient de proportionnalité est $5$ car

$$2 \times 5 = 10$$

On applique le même facteur au bleu :

$$3 \times 5 = 15$$

Il faut donc $15$ tasses de peinture bleue.

L’idée essentielle est que les deux termes doivent être multipliés par le même facteur. C’est ce qui permet de conserver le ratio $2:3$ inchangé.

Comment fonctionnent généralement les problèmes de ratios

La plupart des problèmes de ratios vous demandent de faire l’une des trois choses suivantes :

• simplifier une comparaison
• agrandir ou réduire une comparaison
• trouver une quantité manquante lorsque le ratio est connu

Dans chaque cas, la logique est la même : garder l’ordre fixe et conserver une comparaison cohérente.

Une erreur fréquente consiste à confondre comparaison partie-à-partie et comparaison partie-au-tout. Si garçons:filles = $2:3$, alors le nombre total de parts est $5$, donc les garçons représentent $\frac{2}{5}$ de la classe, et non $\frac{2}{3}$.

Erreurs fréquentes avec les ratios

Inverser l’ordre

Si la question demande chats:chiens et que vous écrivez chiens:chats, les nombres peuvent être corrects, mais le ratio reste faux.

Oublier d’unifier les unités

Comparer $1$ heure à $30$ minutes sous la forme $1:30$ est incorrect, car les unités sont différentes. Il faut d’abord convertir :

$$1 \text{ hour} = 60 \text{ minutes}$$

le ratio est donc

$$60:30 = 2:1$$

Traiter un ratio comme une différence

$5:2$ ne signifie pas que la première quantité est toujours « $3$ de plus » de la manière qui compte dans le problème. Un ratio est une comparaison multiplicative, pas seulement une différence.

Simplifier un seul terme

Si vous modifiez un côté d’un ratio, vous devez modifier l’autre côté avec le même facteur. Sinon, la comparaison change.

Quand utilise-t-on les ratios ?

Les ratios apparaissent dans les recettes, les cartes, les dessins à l’échelle, les mélanges, les comparaisons en classe et de nombreux problèmes d’algèbre sur les relations équivalentes.

Ils sont particulièrement utiles lorsque la vraie question est « combien par rapport à combien ? » plutôt que « combien au total ? ».

Essayez un problème de ratio similaire

Un mélange apéritif utilise des noix et des raisins secs dans le ratio $4:1$. Si vous avez $20$ tasses de noix, combien de tasses de raisins secs permettent de conserver le même mélange ?

Écrivez ensuite le ratio raisins secs:noix et vérifiez que vous avez bien inversé l’ordre correctement. Si vous voulez aller un peu plus loin, remplacez les noix par $12$ tasses et résolvez à nouveau sans regarder l’exemple.