Valeur absolue — Définition et propriétés

La valeur absolue représente la distance à $0$ sur la droite des nombres. Pour les nombres réels, cela signifie que $|x|$ est toujours positif ou nul.

C’est pourquoi $|5| = 5$ et $|-5| = 5$. Ces nombres sont de part et d’autre de $0$, mais ils en sont à la même distance.

Définition de la valeur absolue

Pour un nombre réel $x$,

$$|x| = \begin{cases} x, & x \ge 0 \\ -x, & x < 0 \end{cases}$$

Cela ne veut pas dire que la valeur absolue « rend tout positif ». Elle laisse les nombres positifs ou nuls inchangés et change le signe des nombres négatifs.

La voir comme une distance

Le meilleur modèle mental est celui de la distance. Si vous lisez $|x|$, pensez à « la distance entre $x$ et $0$ ».

La même idée explique des expressions comme $|a-b|$. C’est la distance entre $a$ et $b$ sur la droite des nombres.

Par exemple,

$$|2 - 7| = |-5| = 5$$

donc la distance entre $2$ et $7$ est $5$.

Propriétés essentielles de la valeur absolue

Voici les propriétés que vous utiliserez le plus souvent :

1. $|x| \ge 0$ pour tout nombre réel $x$.
2. $|x| = 0$ seulement lorsque $x = 0$.
3. $|-x| = |x|$.
4. $|ab| = |a||b|$ pour les nombres réels $a$ et $b$.
5. Si $b \ne 0$, alors $\left|\frac{a}{b}\right| = \frac{|a|}{|b|}$.

La condition $b \ne 0$ est importante dans la dernière propriété, car la division par $0$ n’est pas définie.

Exemple résolu : résoudre $|x - 3| = 5$

Cette équation demande quels nombres sont à une distance de $5$ de $3$.

Si un nombre est à $5$ unités à droite de $3$, alors

$$x - 3 = 5$$

donc

$$x = 8$$

Si un nombre est à $5$ unités à gauche de $3$, alors

$$x - 3 = -5$$

donc

$$x = -2$$

Les solutions sont donc

$$x = 8 \quad \text{or} \quad x = -2$$

Cette idée des deux cas est le schéma principal à retenir. Si $|u| = k$ et $k > 0$, résolvez à la fois $u = k$ et $u = -k$.

Erreurs fréquentes avec la valeur absolue

Une erreur fréquente consiste à penser que $|x|$ peut être négatif. Ce n’est pas possible. Pour les nombres réels, la valeur absolue est toujours supérieure ou égale à $0$.

Une autre erreur fréquente est de ne résoudre qu’un seul cas. Dans l’exemple ci-dessus, s’arrêter à $x = 8$ fait oublier le deuxième point qui est lui aussi à $5$ unités de $3$.

Les élèves confondent aussi $|-x|$ et $-|x|$. Ce n’est pas la même chose. En effet, $|-x| = |x|$, mais $-|x|$ est nul ou négatif.

Quand utilise-t-on la valeur absolue ?

La valeur absolue apparaît chaque fois que la grandeur compte plus que le sens.

On la rencontre dans les distances sur une droite des nombres, dans l’erreur ou l’écart par rapport à une valeur cible, dans les équations et inégalités, et dans les formules où seule la grandeur doit rester. Plus tard en mathématiques, elle apparaît aussi en géométrie analytique, en calcul différentiel et intégral, et avec les nombres complexes, même si son sens exact dépend du contexte.

Vérification rapide pour les équations du type $|u| = k$

Si vous voyez une équation comme $|u| = k$, regardez d’abord le membre de droite.

Si $k < 0$, il n’y a pas de solution réelle, car une valeur absolue ne peut pas être égale à un nombre négatif. Si $k = 0$, alors l’expression à l’intérieur doit être égale à $0$. Si $k > 0$, attendez-vous à deux cas, sauf si les deux cas donnent la même valeur.

Essayez un problème similaire sur la valeur absolue

Essayez de résoudre $|x + 4| = 9$. Lisez cela comme « la distance à $-4$ est $9$ », puis écrivez les deux cas correspondants. Si vous voulez vérifier votre réponse après avoir résolu, remplacez les deux solutions dans l’équation de départ.