Nombres entiers — règles de calcul et droite graduée

Les nombres entiers sont les nombres entiers positifs, les nombres entiers négatifs et $0$ : $\{\ldots, -3, -2, -1, 0, 1, 2, 3, \ldots\}$. Ils n’incluent ni les fractions ni les nombres décimaux.

Si vous voulez retenir les règles essentielles rapidement, partez de deux idées. Sur la droite graduée, le signe indique la direction à partir de $0$ et la valeur indique la distance à $0$. Pour la multiplication et la division, deux signes identiques donnent un résultat positif et deux signes différents donnent un résultat négatif.

Ce que signifient les nombres entiers sur une droite graduée

La droite graduée permet de lire plus facilement les nombres entiers. Les entiers positifs se trouvent à droite de $0$, les entiers négatifs à gauche, et les nombres plus éloignés de $0$ ont une plus grande distance à zéro.

Par exemple, $4$ est à quatre unités à droite de $0$, tandis que $-4$ est à quatre unités à gauche. Ils ont la même distance à zéro, mais des directions opposées.

C’est pour cela que les nombres entiers sont utiles pour représenter un gain ou une perte, une température au-dessus ou au-dessous de zéro, une altitude ou une position horizontale.

Règles sur les nombres entiers pour l’addition, la soustraction, la multiplication et la division

Pour l’addition et la soustraction, pensez en termes de déplacement sur la droite graduée :

• Ajouter un entier positif fait aller vers la droite.
• Ajouter un entier négatif fait aller vers la gauche.
• Soustraire un entier revient à ajouter son opposé.

Exemple :

$$5 - 8 = 5 + (-8) = -3$$

Pour la multiplication et la division, utilisez la règle des signes :

• Deux signes identiques donnent un résultat positif.
• Deux signes différents donnent un résultat négatif.

$$(-3)(4) = -12$$ $$(-3)(-4) = 12$$ $$12 \div (-3) = -4$$

Une condition est importante ici. La division par $0$ n’est pas définie, et la division par un entier non nul ne reste pas toujours dans l’ensemble des entiers. Par exemple,

$$7 \div 2 = 3.5$$

Le quotient est un nombre réel, mais ce n’est pas un entier.

Exemple détaillé : calculer $-2 + 7 - 4$

Utilisez l’idée de la droite graduée étape par étape :

$$-2 + 7 - 4$$

Commencez à $-2$. Ajouter $7$ signifie avancer de $7$ unités vers la droite :

$$-2 + 7 = 5$$

Maintenant, soustrayez $4$. Cela signifie aller de $4$ unités vers la gauche :

$$5 - 4 = 1$$

Donc

$$-2 + 7 - 4 = 1$$

C’est le schéma principal pour l’addition et la soustraction des entiers : lisez le signe comme une direction, puis suivez le déplacement.

Erreurs fréquentes avec les opérations sur les nombres entiers

Confondre nombres entiers et nombres entiers naturels

Les nombres entiers naturels comprennent $0, 1, 2, 3, \ldots$, mais les nombres entiers comprennent aussi les versions négatives. Donc $-5$ est un entier, mais ce n’est pas un entier naturel.

Oublier que la soustraction change la direction

Dans $3 - (-2)$, vous soustrayez un nombre négatif, ce qui revient à ajouter un nombre positif :

$$3 - (-2) = 3 + 2 = 5$$

Penser que la division donne toujours un entier

Les nombres entiers sont stables pour l’addition, la soustraction et la multiplication, mais pas pour la division. Cela signifie que diviser deux entiers peut donner une valeur qui n’est pas un entier.

Quand utilise-t-on les nombres entiers ?

Les nombres entiers apparaissent en arithmétique, dans les repères du plan, en algèbre, en comptabilité, pour les températures, les altitudes et en informatique. C’est souvent le premier ensemble de nombres où la direction compte, pas seulement la grandeur.

Une fois que les nombres entiers deviennent naturels sur la droite graduée, des notions comme la valeur absolue, les inégalités et les expressions algébriques deviennent beaucoup plus faciles à lire.

Essayez vous-même

Essayez sur votre propre droite graduée : $-6 + 9$, $4 - 11$ et $(-5)(-2)$. Si vous voulez vérifier une expression plus longue après l’avoir faite à la main, testez votre propre version dans un solveur et comparez chaque changement de signe.