Système de numération - binaire, octal, hexadécimal

Le binaire, l’octal et l’hexadécimal sont tous des systèmes à valeur de position. La différence vient de la base. Le binaire est en base $2$, l’octal en base $8$ et l’hexadécimal en base $16$. Une fois cette idée comprise, les symboles paraissent beaucoup moins mystérieux.

Dans tout système de numération positionnel, chaque position est une puissance de la base. En base $10$, les positions valent $1$, $10$, $100$, etc. En base $2$, les positions valent $1$, $2$, $4$, $8$, $16$, etc. La même règle fonctionne pour toutes les bases.

Quels symboles utilise chaque système de numération

Le binaire n’utilise que les chiffres $0$ et $1$.

L’octal utilise les chiffres de $0$ à $7$.

L’hexadécimal utilise $16$ symboles : $0$ à $9$, puis $A$ à $F$ pour les valeurs de $10$ à $15$.

Cela signifie qu’un chiffre hexadécimal peut contenir plus d’information qu’un chiffre binaire, car une position en hexadécimal compte selon des puissances de $16$, et non de $2$.

L’idée essentielle

Un nombre ne change pas de valeur simplement parce qu’on l’écrit dans une autre base. Seule sa représentation change.

Par exemple, le nombre $45$ en base $10$ reste la même quantité qu’on l’écrive en binaire, en octal ou en hexadécimal. Les différentes bases sont comme différentes langues pour exprimer la même quantité.

Un exemple clair : écrire $45$ en binaire, en octal et en hexadécimal

Commençons en base $10$.

$$45 = 32 + 8 + 4 + 1$$

Ce sont des puissances de $2$ :

$$32 = 2^5,\quad 8 = 2^3,\quad 4 = 2^2,\quad 1 = 2^0$$

Donc, l’écriture binaire a des $1$ aux positions $2^5$, $2^3$, $2^2$ et $2^0$ :

$$45_{10} = 101101_2$$

Utilisons maintenant l’écriture binaire pour obtenir l’octal. Comme $8 = 2^3$, on regroupe les chiffres binaires par paquets de $3$ en partant de la droite :

$$101101_2 = 101\ 101_2$$

Chaque groupe devient un chiffre octal :

$$101_2 = 5,\quad 101_2 = 5$$

Donc

$$45_{10} = 55_8$$

Passons maintenant à l’hexadécimal. Comme $16 = 2^4$, on regroupe les chiffres binaires par paquets de $4$ en partant de la droite. On ajoute des zéros à gauche si nécessaire :

$$101101_2 = 0010\ 1101_2$$

Puis on convertit chaque groupe :

$$0010_2 = 2,\quad 1101_2 = 13 = D$$

Donc

$$45_{10} = 2D_{16}$$

Les trois écritures représentent la même quantité :

$$45_{10} = 101101_2 = 55_8 = 2D_{16}$$

Erreurs fréquentes

Une erreur fréquente consiste à oublier que la base change les valeurs de position. La suite $101$ ne signifie pas la même chose en base $2$, en base $8$ et en base $10$.

Une autre erreur consiste à utiliser des chiffres que la base n’autorise pas. Par exemple, $2$ ne peut pas apparaître dans un nombre binaire, et $8$ ne peut pas apparaître dans un nombre octal.

Les élèves regroupent aussi souvent mal les chiffres binaires lors d’une conversion vers l’octal ou l’hexadécimal. Il faut regrouper à partir de la droite et ajouter des zéros à gauche si un groupe complet est nécessaire.

Quand utilise-t-on ces systèmes de numération

Le binaire est le langage de base des systèmes numériques, car les interrupteurs ont naturellement deux états. L’octal et l’hexadécimal sont des façons plus compactes d’écrire de longues suites binaires.

Il n’est pas nécessaire d’étudier l’informatique pour comprendre l’idée mathématique. Ces systèmes restent utiles, car ils entraînent à la règle fondamentale de toute écriture positionnelle : la valeur dépend de la base et de la position.

Essayez une conversion similaire

Essayez de convertir $58_{10}$ en binaire, en octal et en hexadécimal. Commencez par l’écrire comme une somme de puissances de $2$, puis regroupez les chiffres binaires pour obtenir les deux autres écritures.