Ordre des opérations — règles PEMDAS / BODMAS

L’ordre des opérations indique quoi faire en premier dans une expression mathématique afin que tout le monde obtienne la même réponse. Avec PEMDAS ou BODMAS, la règle est la suivante : simplifier d’abord les symboles de groupement, puis les exposants, puis effectuer les multiplications et les divisions de gauche à droite, et enfin les additions et les soustractions de gauche à droite.

Si vous ne retenez qu’une seule chose, retenez ceci : la multiplication et la division sont au même niveau de priorité, et l’addition et la soustraction aussi. À l’intérieur d’un même niveau, on avance de gauche à droite.

PEMDAS et BODMAS désignent la même règle

PEMDAS signifie Parentheses, Exponents, Multiplication, Division, Addition, Subtraction. BODMAS utilise Brackets et Orders à la place de Parentheses et Exponents. La règle derrière ces deux acronymes est la même.

La partie la plus déroutante se trouve au milieu de l’acronyme. La multiplication et la division forment un seul niveau de priorité, donc on effectue celle qui apparaît en premier en partant de la gauche. L’addition et la soustraction forment aussi un seul niveau de priorité, donc là encore on travaille de gauche à droite.

Cela signifie que PEMDAS ne dit pas « toujours multiplier avant de diviser ». Il dit « terminer l’étape multiplication-ou-division dans l’ordre ».

L’ordre des opérations en 4 étapes

1. Simplifier à l’intérieur des symboles de groupement comme les parenthèses.
2. Calculer les exposants.
3. Effectuer les multiplications et les divisions de gauche à droite.
4. Effectuer les additions et les soustractions de gauche à droite.

Si les symboles de groupement sont imbriqués, commencez par la partie la plus intérieure puis progressez vers l’extérieur. Une barre de fraction agit aussi comme un groupement, car le numérateur entier et le dénominateur entier restent ensemble.

Exemple corrigé : appliquer PEMDAS étape par étape

Calculer

$$24 / 3 \times (1 + 3) - 2^2$$

Commencez par les parenthèses :

$$24 / 3 \times 4 - 2^2$$

Calculez maintenant l’exposant :

$$24 / 3 \times 4 - 4$$

Ensuite, effectuez la division et la multiplication de gauche à droite :

$$24 / 3 = 8$$

donc l’expression devient

$$8 \times 4 - 4$$

Puis multipliez :

$$32 - 4$$

Enfin, soustrayez :

$$28$$

Donc

$$24 / 3 \times (1 + 3) - 2^2 = 28$$

Cet exemple montre clairement le principal piège. Si vous faisiez d’abord $3 \times 4$, vous modifieriez la règle de gauche à droite à l’intérieur de l’étape multiplication-et-division.

Erreurs fréquentes avec l’ordre des opérations

Une erreur fréquente consiste à lire PEMDAS comme une échelle stricte de haut en bas. Dans $20 / 5 \times 2$, on divise d’abord parce que cette opération apparaît en premier à gauche, donc le résultat est $8$ et non $2$.

Une autre erreur consiste à traiter l’addition comme si elle devait toujours se faire avant la soustraction, ou la soustraction avant l’addition. Dans $10 - 3 + 1$, on travaille de gauche à droite et on obtient $8$.

Les élèves sautent aussi souvent l’étape de réécriture. Cela rend plus facile l’oubli d’un signe, d’un exposant ou l’exécution d’une opération trop tôt. Réécrire l’expression après chaque étape prend quelques secondes, mais évite beaucoup d’erreurs.

Quand utilise-t-on cette règle ?

On utilise l’ordre des opérations chaque fois qu’une expression mélange plusieurs opérations. Cela inclut l’arithmétique scolaire, l’algèbre, les formules scientifiques, les calculs sur tableur et la saisie sur calculatrice.

Les langages de programmation utilisent eux aussi une priorité des opérateurs, mais les symboles exacts peuvent varier selon le langage ou l’outil. L’idée de base reste la même : certaines opérations sont regroupées avant d’autres pour que les expressions soient interprétées de manière cohérente.

Une vérification rapide avant de continuer

Après avoir terminé, posez-vous deux questions :

1. Ai-je traité les symboles de groupement et les exposants avant les opérations de base ?
2. À l’intérieur de l’étape multiplication-ou-division et de l’étape addition-ou-soustraction, ai-je avancé de gauche à droite ?

Si la réponse aux deux questions est oui, alors votre structure est probablement correcte.

Essayez un problème similaire

Essayez

$$30 / 5 \times (2 + 1) + 3^2$$

Résolvez-le une étape à la fois et vérifiez si vous divisez avant de multiplier. Si vous voulez ensuite vérifier vos étapes, essayez votre propre version dans le solveur et comparez les lignes intermédiaires, pas seulement la réponse finale.