Fractions — addition, soustraction, multiplication, division

Pour additionner et soustraire des fractions, il faut d’abord mettre les dénominateurs au même nombre. Pour multiplier des fractions, on multiplie en ligne. Pour diviser des fractions, on multiplie par l’inverse de la deuxième fraction.

C’est toute l’idée, mais une condition compte : la deuxième fraction dans une division ne peut pas être $0$. Si c’était $0$, son inverse n’existerait pas et la division serait indéfinie.

Ce que signifie une fraction

Une fraction $\frac{a}{b}$ représente $a$ parts de taille $\frac{1}{b}$, avec $b \ne 0$. Le numérateur indique combien de parts on a, et le dénominateur indique la taille de chaque part.

C’est pourquoi $\frac{1}{2} + \frac{1}{3}$ n’est pas égal à $\frac{2}{5}$. Les moitiés et les tiers n’ont pas la même taille, donc il faut d’abord les réécrire dans la même unité avant de les additionner.

Règles sur les fractions en un coup d’œil

Pour $b \ne 0$, $d \ne 0$ et $c \ne 0$ dans la règle de division :

$$\frac{a}{b} + \frac{c}{d} = \frac{ad + bc}{bd}$$ $$\frac{a}{b} - \frac{c}{d} = \frac{ad - bc}{bd}$$ $$\frac{a}{b} \cdot \frac{c}{d} = \frac{ac}{bd}$$ $$\frac{a}{b} \div \frac{c}{d} = \frac{a}{b} \cdot \frac{d}{c}$$

Pour l’addition et la soustraction, ces formules fonctionnent parce que $bd$ est un dénominateur commun. En pratique, dans les exercices, on utilise souvent le plus petit dénominateur commun, car cela garde des nombres plus petits.

Un exemple détaillé pour les quatre opérations

Utilisez la même paire à chaque fois :

$$\frac{2}{3} \quad \text{and} \quad \frac{1}{4}$$

Additionner des fractions

Le plus petit dénominateur commun de $3$ et $4$ est $12$, donc on réécrit les deux fractions :

$$\frac{2}{3} = \frac{8}{12}$$ $$\frac{1}{4} = \frac{3}{12}$$

Maintenant, les parts correspondent :

$$\frac{2}{3} + \frac{1}{4} = \frac{8}{12} + \frac{3}{12} = \frac{11}{12}$$

Soustraire des fractions

On utilise le même dénominateur commun :

$$\frac{2}{3} - \frac{1}{4} = \frac{8}{12} - \frac{3}{12} = \frac{5}{12}$$

Multiplier des fractions

Ici, il n’y a pas besoin de dénominateur commun :

$$\frac{2}{3} \cdot \frac{1}{4} = \frac{2 \cdot 1}{3 \cdot 4} = \frac{2}{12} = \frac{1}{6}$$

Diviser des fractions

On garde la première fraction, on inverse la deuxième, puis on multiplie :

$$\frac{2}{3} \div \frac{1}{4} = \frac{2}{3} \cdot \frac{4}{1} = \frac{8}{3}$$

Cette réponse est supérieure à $1$, ce qui est logique. Diviser par $\frac{1}{4}$ revient à demander combien de quarts tiennent dans $\frac{2}{3}$.

Pourquoi les dénominateurs communs sont importants

L’addition et la soustraction combinent des quantités de même taille. Si les parts n’ont pas la même taille, les numérateurs seuls ne racontent pas toute l’histoire.

La multiplication et la division sont différentes. La multiplication agrandit ou réduit une quantité par une autre, et la division compare combien de fois une fraction tient dans une autre, donc un dénominateur commun n’est pas l’étape clé dans ces cas.

Erreurs fréquentes avec les fractions

1. Additionner à la fois les numérateurs et les dénominateurs. En général, $\frac{a}{b} + \frac{c}{d} \ne \frac{a+c}{b+d}$.
2. Chercher un dénominateur commun pour multiplier ou diviser. Cette étape supplémentaire n’est pas nécessaire.
3. Inverser la première fraction lors d’une division. Seule la deuxième fraction est inversée.
4. Oublier de simplifier, par exemple laisser $\frac{2}{12}$ au lieu de $\frac{1}{6}$.
5. Diviser par une fraction nulle. $\frac{a}{b} \div \frac{0}{d}$ est indéfini.

Quand les élèves utilisent les opérations sur les fractions

On utilise les opérations sur les fractions en mesure, en cuisine, pour les taux, les probabilités, l’algèbre et dans tout problème où des quantités représentent des parts d’un tout.

Le choix de l’opération dépend de la question :

• Additionnez ou soustrayez quand vous combinez ou comparez des quantités.
• Multipliez quand vous avez besoin d’une fraction d’une fraction.
• Divisez quand vous voulez savoir combien de groupes tiennent ou ce qu’une fraction représente par rapport à une autre.

Essayez un problème similaire

Essayez les mêmes quatre opérations avec $\frac{3}{5}$ et $\frac{2}{15}$. Si vous voulez vérifier votre démarche après avoir essayé seul, un solveur de maths peut vous aider à confirmer que vous n’avez mis les dénominateurs au même nombre que lorsque l’opération l’exigeait.