Diviser des fractions — méthode inverser et multiplier

Pour diviser des fractions, on garde la première fraction, on inverse le diviseur, puis on multiplie. Cette méthode fonctionne tant que le diviseur n’est pas nul.

Par exemple,

$$\frac{3}{4} \div \frac{1}{2} = \frac{3}{4} \times \frac{2}{1} = \frac{3}{2}$$

Ici, le résultat est plus grand, car diviser par $\frac{1}{2}$ revient à demander combien de moitiés tiennent dans $\frac{3}{4}$.

En général,

$$\frac{a}{b} \div \frac{c}{d} = \frac{a}{b} \times \frac{d}{c}$$

tant que $b \ne 0$, $d \ne 0$ et $\frac{c}{d} \ne 0$.

Comment diviser des fractions

La fraction inversée est l’inverse. L’inverse de $\frac{2}{3}$ est $\frac{3}{2}$, car le numérateur et le dénominateur échangent leur place.

Utilisez ce procédé :

1. Gardez la première fraction inchangée.
2. Inversez la deuxième fraction, qui est le diviseur.
3. Multipliez en ligne.
4. Simplifiez le résultat.

Pourquoi inverser et multiplier fonctionne

Diviser par un nombre revient à multiplier par son inverse multiplicatif. Pour une fraction non nulle $\frac{c}{d}$, cet inverse est $\frac{d}{c}$ car

$$\frac{c}{d} \times \frac{d}{c} = 1$$

Donc, diviser par $\frac{c}{d}$ donne le même résultat que multiplier par $\frac{d}{c}$. C’est la raison pour laquelle la règle fonctionne, et pas seulement une astuce à mémoriser.

Exemple détaillé : $\frac{3}{4} \div \frac{1}{2}$

On commence avec

$$\frac{3}{4} \div \frac{1}{2}$$

Gardez la première fraction et inversez le diviseur :

$$\frac{3}{4} \times \frac{2}{1}$$

Multipliez :

$$\frac{3}{4} \times \frac{2}{1} = \frac{6}{4}$$

Simplifiez :

$$\frac{6}{4} = \frac{3}{2} = 1\frac{1}{2}$$

Donc

$$\frac{3}{4} \div \frac{1}{2} = \frac{3}{2}$$

Cela a aussi du sens en mots : « Combien de moitiés tiennent dans trois quarts ? » La réponse est $1\frac{1}{2}$ moitié.

Pourquoi diviser par une fraction peut donner un résultat plus grand

Les élèves s’attendent souvent à ce qu’une division rende les nombres plus petits. C’est vrai quand on divise par un nombre positif supérieur à $1$, mais pas quand on divise par une fraction positive inférieure à $1$.

Si vous divisez par $\frac{1}{2}$, vous comptez des moitiés. Comme les moitiés sont des morceaux plus petits que des unités entières, on peut souvent en faire tenir plus d’une dans la quantité de départ. C’est pourquoi $\frac{3}{4} \div \frac{1}{2}$ est plus grand que $\frac{3}{4}$.

Erreurs fréquentes dans la division de fractions

Inverser la mauvaise fraction

On inverse seulement la deuxième fraction, le diviseur. La première fraction reste la même.

Oublier la condition sur zéro

On ne peut pas diviser par $0$, donc le diviseur ne peut pas être la fraction nulle. Par exemple, $\frac{5}{6} \div 0$ n’est pas défini.

Diviser le haut par le haut et le bas par le bas

Ce n’est pas la règle pour la division de fractions. Après avoir inversé le diviseur, on multiplie en ligne.

Oublier de réécrire les nombres entiers comme des fractions

Si un nombre entier apparaît, écrivez-le sur $1$. Par exemple, $2 \div \frac{2}{3}$ signifie $\frac{2}{1} \div \frac{2}{3}$.

Passer à côté d’une simplification facile

Vous pouvez multiplier d’abord et simplifier à la fin, mais il est parfois plus simple de simplifier des facteurs communs avant de multiplier. Les deux méthodes conviennent si le calcul algébrique est correct.

Quand utilise-t-on la division de fractions

La division de fractions apparaît en mesure, en cuisine, dans les taux unitaires et dans les problèmes d’échelle. Si vous connaissez la taille d’une part et voulez savoir combien de parts de cette taille tiennent dans une quantité totale, la division de fractions est souvent le bon modèle.

Par exemple, si une recette utilise $\frac{2}{3}$ de tasse de lait par fournée et que vous avez $2$ tasses de lait, la question « Combien de fournées puis-je faire ? » devient

$$2 \div \frac{2}{3}$$

C’est une division de fractions même si l’un des nombres est un nombre entier.

Une vérification rapide avant de continuer

Après avoir résolu, demandez-vous si la taille du résultat est raisonnable.

• Si vous divisez par une fraction positive inférieure à $1$, le résultat doit devenir plus grand.
• Si vous divisez par un nombre positif supérieur à $1$, le résultat doit devenir plus petit.

Cela ne remplace pas le calcul, mais c’est un bon moyen de repérer une fraction mal inversée ou une erreur de signe.

Essayez un problème similaire

Essayez $\frac{5}{6} \div \frac{2}{3}$ et décidez si la réponse doit être plus petite ou plus grande que $\frac{5}{6}$ avant de calculer. Si vous voulez un autre cas pour vérifier vos étapes, résolvez un problème similaire avec GPAI Solver.