Kesirler — Toplama, Çıkarma, Çarpma, Bölme

Kesirleri toplamak ve çıkarmak için önce paydaları eşitleyin. Kesirleri çarpmak için doğrudan çarpın. Kesirleri bölmek için ikinci kesrin tersini alıp çarpın.

Temel fikir budur, ama önemli bir koşul vardır: bölme işlemindeki ikinci kesir $0$ olamaz. Eğer $0$ olsaydı, çarpmaya göre tersi olmazdı ve bölme tanımsız olurdu.

Bir Kesir Ne Anlama Gelir?

Bir $\frac{a}{b}$ kesri, $b \ne 0$ olmak üzere, büyüklüğü $\frac{1}{b}$ olan $a$ parçayı ifade eder. Pay, elinizde kaç parça olduğunu; payda ise her parçanın büyüklüğünü gösterir.

Bu yüzden $\frac{1}{2} + \frac{1}{3}$ işlemi $\frac{2}{5}$ değildir. Yarım ve üçte bir farklı büyüklükte parçalardır, bu yüzden toplamadan önce onları aynı birimle yeniden yazmanız gerekir.

Kesir Kuralları Kısaca

Bölme kuralında $b \ne 0$, $d \ne 0$ ve $c \ne 0$ olsun:

$$\frac{a}{b} + \frac{c}{d} = \frac{ad + bc}{bd}$$ $$\frac{a}{b} - \frac{c}{d} = \frac{ad - bc}{bd}$$ $$\frac{a}{b} \cdot \frac{c}{d} = \frac{ac}{bd}$$ $$\frac{a}{b} \div \frac{c}{d} = \frac{a}{b} \cdot \frac{d}{c}$$

Toplama ve çıkarma için bu formüller çalışır çünkü $bd$ ortak bir paydadır. Gerçek ödevlerde ise sayıları daha küçük tuttuğu için çoğu zaman en küçük ortak paydayı kullanırsınız.

Dört İşlemin Tamamı İçin Tek Bir Çözümlü Örnek

Her seferinde aynı iki kesri kullanın:

$$\frac{2}{3} \quad \text{and} \quad \frac{1}{4}$$

Kesirlerde Toplama

$3$ ve $4$ sayılarının en küçük ortak paydası $12$ olduğundan, iki kesri de yeniden yazın:

$$\frac{2}{3} = \frac{8}{12}$$ $$\frac{1}{4} = \frac{3}{12}$$

Artık parçalar aynı türden:

$$\frac{2}{3} + \frac{1}{4} = \frac{8}{12} + \frac{3}{12} = \frac{11}{12}$$

Kesirlerde Çıkarma

Aynı ortak paydayı kullanın:

$$\frac{2}{3} - \frac{1}{4} = \frac{8}{12} - \frac{3}{12} = \frac{5}{12}$$

Kesirlerde Çarpma

Burada ortak paydaya gerek yoktur:

$$\frac{2}{3} \cdot \frac{1}{4} = \frac{2 \cdot 1}{3 \cdot 4} = \frac{2}{12} = \frac{1}{6}$$

Kesirlerde Bölme

İlk kesri olduğu gibi bırakın, ikincisini ters çevirin ve çarpın:

$$\frac{2}{3} \div \frac{1}{4} = \frac{2}{3} \cdot \frac{4}{1} = \frac{8}{3}$$

Bu cevap $1$'den büyüktür ve bu mantıklıdır. $\frac{1}{4}$ ile bölmek, $\frac{2}{3}$ içinde çeyrek büyüklüğünde kaç parça olduğunu sormaktır.

Ortak Payda Neden Önemlidir?

Toplama ve çıkarma, aynı büyüklükteki miktarları birleştirir. Parçalar farklı büyüklükteyse, yalnızca paylar tüm durumu anlatmaz.

Çarpma ve bölme farklıdır. Çarpma bir miktarı başka bir miktarla ölçeklendirir, bölme ise bir kesrin diğerinin içine kaç kez sığdığını karşılaştırır; bu yüzden ortak payda burada temel adım değildir.

Kesirlerde Sık Yapılan Hatalar

1. Hem payları hem paydaları toplamak. Genel olarak, $\frac{a}{b} + \frac{c}{d} \ne \frac{a+c}{b+d}$.
2. Çarpma veya bölmede ortak payda bulmaya çalışmak. Bu ek adım gerekli değildir.
3. Bölme işleminde ilk kesri ters çevirmek. Yalnızca ikinci kesir ters çevrilir.
4. Sadeleştirmeyi unutmak; örneğin $\frac{2}{12}$ yerine $\frac{1}{6}$ yazmamak.
5. Sıfır olan bir kesre bölmek. $\frac{a}{b} \div \frac{0}{d}$ tanımsızdır.

Öğrenciler Kesir İşlemlerini Ne Zaman Kullanır?

Kesir işlemlerini ölçme, tarifler, oranlar, olasılık, cebir ve niceliklerin bir bütünün parçaları olduğu her problemde kullanırsınız.

Hangi işlemi seçeceğiniz soruya bağlıdır:

• Miktarları birleştirirken veya karşılaştırırken toplayın ya da çıkarın.
• Bir kesrin kesrini bulmanız gerektiğinde çarpın.
• Kaç grup sığdığını ya da bir kesrin diğerine göre ne ifade ettiğini bulmak istediğinizde bölün.

Benzer Bir Soru Deneyin

Aynı dört işlemi $\frac{3}{5}$ ve $\frac{2}{15}$ ile deneyin. Önce kendiniz çözdükten sonra kurulumunuzu kontrol etmek isterseniz, bir matematik çözücüsü paydaları yalnızca gerektiğinde eşitleyip eşitlemediğinizi doğrulamanıza yardımcı olabilir.