분수 — 덧셈, 뺄셈, 곱셈, 나눗셈

분수를 더하고 뺄 때는 먼저 분모를 같게 맞춥니다. 분수를 곱할 때는 가로로 곱합니다. 분수를 나눌 때는 두 번째 분수의 역수로 곱합니다.

이것이 핵심 아이디어의 전부이지만, 한 가지 중요한 조건이 있습니다. 나눗셈 문제에서 두 번째 분수는 $0$이 될 수 없습니다. 만약 $0$이라면 역수가 존재하지 않으므로 나눗셈은 정의되지 않습니다.

분수가 뜻하는 것

분수 $\frac{a}{b}$는 크기가 $\frac{1}{b}$인 조각이 $a$개 있다는 뜻이며, $b \ne 0$입니다. 분자는 조각의 개수를 나타내고, 분모는 각 조각의 크기를 나타냅니다.

그래서 $\frac{1}{2} + \frac{1}{3}$은 $\frac{2}{5}$가 아닙니다. $\frac{1}{2}$와 $\frac{1}{3}$은 크기가 다른 조각이므로, 더하기 전에 같은 단위로 고쳐 써야 합니다.

한눈에 보는 분수 계산 규칙

나눗셈 공식에서는 $b \ne 0$, $d \ne 0$, 그리고 $c \ne 0$이라고 하겠습니다.

$$\frac{a}{b} + \frac{c}{d} = \frac{ad + bc}{bd}$$ $$\frac{a}{b} - \frac{c}{d} = \frac{ad - bc}{bd}$$ $$\frac{a}{b} \cdot \frac{c}{d} = \frac{ac}{bd}$$ $$\frac{a}{b} \div \frac{c}{d} = \frac{a}{b} \cdot \frac{d}{c}$$

덧셈과 뺄셈에서 이 공식이 성립하는 이유는 $bd$가 공통분모가 되기 때문입니다. 실제 숙제에서는 수를 더 작게 유지하기 위해 최소공통분모를 쓰는 경우가 많습니다.

네 가지 연산을 모두 보여 주는 예제 하나

매번 같은 두 분수를 사용해 보겠습니다.

$$\frac{2}{3} \quad \text{and} \quad \frac{1}{4}$$

분수의 덧셈

$3$과 $4$의 최소공통분모는 $12$이므로, 두 분수를 다시 씁니다.

$$\frac{2}{3} = \frac{8}{12}$$ $$\frac{1}{4} = \frac{3}{12}$$

이제 조각의 크기가 같아졌습니다.

$$\frac{2}{3} + \frac{1}{4} = \frac{8}{12} + \frac{3}{12} = \frac{11}{12}$$

분수의 뺄셈

같은 공통분모를 사용합니다.

$$\frac{2}{3} - \frac{1}{4} = \frac{8}{12} - \frac{3}{12} = \frac{5}{12}$$

분수의 곱셈

여기서는 공통분모가 필요하지 않습니다.

$$\frac{2}{3} \cdot \frac{1}{4} = \frac{2 \cdot 1}{3 \cdot 4} = \frac{2}{12} = \frac{1}{6}$$

분수의 나눗셈

첫 번째 분수는 그대로 두고, 두 번째 분수를 뒤집어 곱합니다.

$$\frac{2}{3} \div \frac{1}{4} = \frac{2}{3} \cdot \frac{4}{1} = \frac{8}{3}$$

이 답이 $1$보다 큰 것은 자연스럽습니다. $\frac{1}{4}$로 나눈다는 것은 $\frac{2}{3}$ 안에 $\frac{1}{4}$ 크기의 조각이 몇 개 들어가는지를 묻는 것이기 때문입니다.

왜 공통분모가 중요한가

덧셈과 뺄셈은 같은 크기의 양을 합치거나 비교하는 계산입니다. 조각의 크기가 다르면 분자만으로는 전체 의미를 알 수 없습니다.

반면 곱셈과 나눗셈은 다릅니다. 곱셈은 한 양을 다른 양만큼 확대하거나 축소하는 것이고, 나눗셈은 한 분수가 다른 분수에 몇 번 들어가는지를 비교하는 것이므로, 공통분모가 핵심 단계는 아닙니다.

분수 계산에서 자주 하는 실수

1. 분자와 분모를 모두 더하는 것. 일반적으로 $\frac{a}{b} + \frac{c}{d} \ne \frac{a+c}{b+d}$입니다.
2. 곱셈이나 나눗셈에서 공통분모를 구하는 것. 그 추가 단계는 필요하지 않습니다.
3. 나눗셈에서 첫 번째 분수를 뒤집는 것. 뒤집는 것은 두 번째 분수뿐입니다.
4. 기약분수로 만들지 않는 것. 예를 들어 $\frac{2}{12}$를 $\frac{1}{6}$으로 줄이지 않는 경우입니다.
5. 0인 분수로 나누는 것. $\frac{a}{b} \div \frac{0}{d}$는 정의되지 않습니다.

학생들이 분수 연산을 사용하는 경우

분수 연산은 측정, 요리법, 비율, 확률, 대수, 그리고 양이 전체의 일부로 주어지는 모든 문제에서 사용됩니다.

어떤 연산을 선택할지는 질문에 따라 달라집니다.

• 양을 합치거나 비교할 때는 더하거나 뺍니다.
• 분수의 분수를 구할 때는 곱합니다.
• 몇 개의 묶음이 들어가는지, 또는 한 분수가 다른 분수에 비해 어떤지를 알고 싶을 때는 나눕니다.

비슷한 문제를 풀어 보세요

$\frac{3}{5}$와 $\frac{2}{15}$로 같은 네 가지 연산을 해 보세요. 먼저 스스로 풀어 본 뒤 풀이가 맞는지 확인하고 싶다면, 수학 풀이 도구를 사용해 필요한 연산에서만 분모를 맞추었는지 검토할 수 있습니다.