Κλάσματα — Πρόσθεση, Αφαίρεση, Πολλαπλασιασμός, Διαίρεση

Για να προσθέσεις και να αφαιρέσεις κλάσματα, πρώτα κάνεις τους παρονομαστές ίδιους. Για να πολλαπλασιάσεις κλάσματα, πολλαπλασιάζεις ευθεία. Για να διαιρέσεις κλάσματα, πολλαπλασιάζεις με το αντίστροφο του δεύτερου κλάσματος.

Αυτή είναι όλη η βασική ιδέα, αλλά υπάρχει μία σημαντική προϋπόθεση: το δεύτερο κλάσμα σε μια διαίρεση δεν μπορεί να είναι $0$. Αν ήταν $0$, το αντίστροφό του δεν θα υπήρχε και η διαίρεση θα ήταν αόριστη.

Τι Σημαίνει Ένα Κλάσμα

Ένα κλάσμα $\frac{a}{b}$ σημαίνει $a$ μέρη μεγέθους $\frac{1}{b}$, με $b \ne 0$. Ο αριθμητής δείχνει πόσα μέρη έχεις, και ο παρονομαστής δείχνει το μέγεθος του κάθε μέρους.

Γι’ αυτό το $\frac{1}{2} + \frac{1}{3}$ δεν είναι $\frac{2}{5}$. Τα μισά και τα τρίτα είναι κομμάτια διαφορετικού μεγέθους, οπότε πρέπει πρώτα να τα ξαναγράψεις στην ίδια μονάδα πριν τα προσθέσεις.

Οι Κανόνες Των Κλασμάτων Με Μια Ματιά

Για $b \ne 0$, $d \ne 0$ και $c \ne 0$ στον κανόνα της διαίρεσης:

$$\frac{a}{b} + \frac{c}{d} = \frac{ad + bc}{bd}$$ $$\frac{a}{b} - \frac{c}{d} = \frac{ad - bc}{bd}$$ $$\frac{a}{b} \cdot \frac{c}{d} = \frac{ac}{bd}$$ $$\frac{a}{b} \div \frac{c}{d} = \frac{a}{b} \cdot \frac{d}{c}$$

Στην πρόσθεση και την αφαίρεση, αυτοί οι τύποι λειτουργούν επειδή το $bd$ είναι κοινός παρονομαστής. Στις πραγματικές ασκήσεις, συχνά χρησιμοποιείς το ελάχιστο κοινό πολλαπλάσιο ως κοινό παρονομαστή, γιατί κρατά τους αριθμούς μικρότερους.

Ένα Λυμένο Παράδειγμα Και Για Τις Τέσσερις Πράξεις

Χρησιμοποίησε το ίδιο ζευγάρι κάθε φορά:

$$\frac{2}{3} \quad \text{and} \quad \frac{1}{4}$$

Πρόσθεση Κλασμάτων

Ο ελάχιστος κοινός παρονομαστής των $3$ και $4$ είναι το $12$, οπότε ξαναγράφουμε και τα δύο κλάσματα:

$$\frac{2}{3} = \frac{8}{12}$$ $$\frac{1}{4} = \frac{3}{12}$$

Τώρα τα κομμάτια έχουν το ίδιο μέγεθος:

$$\frac{2}{3} + \frac{1}{4} = \frac{8}{12} + \frac{3}{12} = \frac{11}{12}$$

Αφαίρεση Κλασμάτων

Χρησιμοποίησε τον ίδιο κοινό παρονομαστή:

$$\frac{2}{3} - \frac{1}{4} = \frac{8}{12} - \frac{3}{12} = \frac{5}{12}$$

Πολλαπλασιασμός Κλασμάτων

Εδώ δεν χρειάζεται κοινός παρονομαστής:

$$\frac{2}{3} \cdot \frac{1}{4} = \frac{2 \cdot 1}{3 \cdot 4} = \frac{2}{12} = \frac{1}{6}$$

Διαίρεση Κλασμάτων

Κράτησε το πρώτο κλάσμα, αντιστροφή του δεύτερου και πολλαπλασιασμός:

$$\frac{2}{3} \div \frac{1}{4} = \frac{2}{3} \cdot \frac{4}{1} = \frac{8}{3}$$

Αυτή η απάντηση είναι μεγαλύτερη από το $1$, και αυτό βγάζει νόημα. Το να διαιρείς με $\frac{1}{4}$ ρωτά πόσα κομμάτια μεγέθους ενός τετάρτου χωρούν μέσα στο $\frac{2}{3}$.

Γιατί Έχουν Σημασία Οι Κοινοί Παρονομαστές

Η πρόσθεση και η αφαίρεση συνδυάζουν ποσότητες του ίδιου μεγέθους. Αν τα κομμάτια έχουν διαφορετικό μέγεθος, οι αριθμητές μόνοι τους δεν λένε όλη την ιστορία.

Ο πολλαπλασιασμός και η διαίρεση είναι διαφορετικά. Ο πολλαπλασιασμός κλιμακώνει μια ποσότητα με μια άλλη, και η διαίρεση συγκρίνει πόσες φορές χωρά το ένα κλάσμα μέσα στο άλλο, οπότε ο κοινός παρονομαστής δεν είναι εκεί το βασικό βήμα.

Συνηθισμένα Λάθη Στα Κλάσματα

1. Να προσθέτεις και τους αριθμητές και τους παρονομαστές. Γενικά, $\frac{a}{b} + \frac{c}{d} \ne \frac{a+c}{b+d}$.
2. Να βρίσκεις κοινό παρονομαστή στον πολλαπλασιασμό ή στη διαίρεση. Αυτό το επιπλέον βήμα δεν χρειάζεται.
3. Να αντιστρέφεις το πρώτο κλάσμα στη διαίρεση. Μόνο το δεύτερο κλάσμα αντιστρέφεται.
4. Να ξεχνάς την απλοποίηση, όπως να αφήνεις το $\frac{2}{12}$ αντί για $\frac{1}{6}$.
5. Να διαιρείς με μηδενικό κλάσμα. Το $\frac{a}{b} \div \frac{0}{d}$ είναι αόριστο.

Πότε Οι Μαθητές Χρησιμοποιούν Τις Πράξεις Με Κλάσματα

Χρησιμοποιείς πράξεις με κλάσματα στις μετρήσεις, στις συνταγές, στους ρυθμούς, στις πιθανότητες, στην άλγεβρα και σε κάθε πρόβλημα όπου οι ποσότητες είναι μέρη ενός όλου.

Η επιλογή της πράξης εξαρτάται από την ερώτηση:

• Πρόσθεσε ή αφαίρεσε όταν συνδυάζεις ή συγκρίνεις ποσότητες.
• Πολλαπλασίασε όταν χρειάζεσαι ένα κλάσμα ενός κλάσματος.
• Διαίρεσε όταν θέλεις να μάθεις πόσες ομάδες χωρούν ή ποια είναι η σχέση του ενός κλάσματος με το άλλο.

Δοκίμασε Ένα Παρόμοιο Πρόβλημα

Δοκίμασε τις ίδιες τέσσερις πράξεις με τα $\frac{3}{5}$ και $\frac{2}{15}$. Αν θέλεις να ελέγξεις το στήσιμό σου αφού το λύσεις μόνος σου, ένα εργαλείο επίλυσης μαθηματικών μπορεί να σε βοηθήσει να επιβεβαιώσεις αν εξίσωσες τους παρονομαστές μόνο όταν το απαιτούσε η πράξη.