Multiplier des fractions — règles et exemples corrigés

Pour multiplier des fractions, on multiplie les numérateurs, on multiplie les dénominateurs, puis on simplifie le résultat si possible. Il n’est pas nécessaire d’avoir un dénominateur commun. Par exemple, $\frac{2}{3} \times \frac{3}{4} = \frac{1}{2}$.

$$\frac{a}{b} \times \frac{c}{d} = \frac{ac}{bd}$$

Cette règle suppose que $b \ne 0$ et $d \ne 0$. En termes simples, multiplier des fractions signifie souvent « prendre une fraction d’une autre fraction ».

Pourquoi multiplier des fractions signifie « de »

L’idée la plus simple est de lire la multiplication comme « de ». Par exemple, $\frac{2}{3} \times \frac{3}{4}$ signifie « deux tiers de trois quarts ».

Si vous partez de $\frac{3}{4}$ d’un tout, puis que vous prenez $\frac{2}{3}$ de cette quantité, le résultat doit être plus petit que $\frac{3}{4}$. C’est exactement ce que donne la règle de multiplication.

Exemple corrigé : $\frac{2}{3} \times \frac{3}{4}$

Calculer

$$\frac{2}{3} \times \frac{3}{4}$$

Étape 1 : multipliez les numérateurs.

$$2 \times 3 = 6$$

Étape 2 : multipliez les dénominateurs.

$$3 \times 4 = 12$$

Donc

$$\frac{2}{3} \times \frac{3}{4} = \frac{6}{12}$$

Maintenant, simplifiez :

$$\frac{6}{12} = \frac{1}{2}$$

Donc $\frac{2}{3}$ de $\frac{3}{4}$ vaut $\frac{1}{2}$. La réponse est logique, car vous prenez une partie d’une quantité déjà inférieure à $1$.

Vous pouvez aussi remarquer que le $3$ au numérateur et au dénominateur se simplifie avant de multiplier, ce qui donne le même résultat plus rapidement :

$$\frac{2}{3} \times \frac{3}{4} = \frac{2}{1} \times \frac{1}{4} = \frac{2}{4} = \frac{1}{2}$$

Ce raccourci est valable ici, car vous simplifiez des facteurs communs dans une multiplication, et non dans une addition ou une soustraction.

Comment multiplier une fraction par un nombre entier

Si l’un des facteurs est un nombre entier, écrivez-le d’abord sur $1$.

Par exemple,

$$3 \times \frac{5}{8} = \frac{3}{1} \times \frac{5}{8} = \frac{15}{8}$$

Si vous voulez un nombre mixte,

$$\frac{15}{8} = 1 \frac{7}{8}$$

Erreurs fréquentes quand on multiplie des fractions

Utiliser par erreur les règles de l’addition

Les élèves écrivent parfois

$$\frac{2}{3} \times \frac{3}{4} = \frac{2+3}{3+4}$$

Ce n’est pas la bonne règle. Pour une multiplication, on multiplie le haut par le haut et le bas par le bas.

Chercher d’abord un dénominateur commun

On a besoin d’un dénominateur commun pour additionner ou soustraire des fractions, pas pour les multiplier. Pour une multiplication, vous pouvez aller directement à numérateur fois numérateur et dénominateur fois dénominateur.

Oublier de simplifier

$\frac{6}{12}$ et $\frac{1}{2}$ représentent la même valeur, mais $\frac{1}{2}$ est la réponse finale la plus simple.

Simplifier dans la mauvaise situation

La simplification de facteurs communs fonctionne dans des produits comme

$$\frac{2}{3} \times \frac{3}{4}$$

Elle ne fonctionne pas dans une addition, comme

$$\frac{2}{3} + \frac{3}{4}$$

car l’addition suit une règle différente.

Quand utilise-t-on la multiplication de fractions ?

La multiplication de fractions apparaît chaque fois que vous devez calculer une partie d’une partie. Cela arrive dans les recettes, les maquettes à l’échelle, les probabilités avec étapes dépendantes et les conversions de mesures.

Par exemple, si une recette utilise $\frac{3}{4}$ de tasse de lait et que vous voulez préparer $\frac{2}{3}$ de la recette, il vous faut $\frac{2}{3} \times \frac{3}{4} = \frac{1}{2}$ tasse de lait.

Essayez un problème similaire

Essayez $\frac{5}{6} \times \frac{2}{5}$. Simplifiez avant de multiplier si vous le pouvez, puis vérifiez si votre réponse est logique : comme ces deux fractions positives sont inférieures à $1$, le produit doit aussi être inférieur à chacun des deux facteurs. Si vous voulez un autre cas juste après celui-ci, explorez ensuite la division de fractions et comparez comment la règle change.