分数の計算 — 足し算・引き算・掛け算・割り算

分数の足し算と引き算では、まず分母をそろえます。分数の掛け算は、そのまま上下を掛けます。分数の割り算は、2つ目の分数の逆数を掛けます。

これが基本の考え方ですが、1つ大事な条件があります。割り算で2つ目の分数は $0$ にはできません。もし $0$ なら逆数が存在せず、その割り算は定義されません。

分数の意味

分数 $\frac{a}{b}$ は、大きさが $\frac{1}{b}$ の部分を $a$ 個集めたものを表します。ただし $b \ne 0$ です。分子は部分の個数を表し、分母は1つ1つの部分の大きさを表します。

だから $\frac{1}{2} + \frac{1}{3}$ は $\frac{2}{5}$ にはなりません。2分の1と3分の1は大きさの違う部分なので、足す前に同じ単位に直す必要があります。

分数の計算ルール一覧

割り算の式では、$b \ne 0$、$d \ne 0$、さらに $c \ne 0$ とします。

$$\frac{a}{b} + \frac{c}{d} = \frac{ad + bc}{bd}$$ $$\frac{a}{b} - \frac{c}{d} = \frac{ad - bc}{bd}$$ $$\frac{a}{b} \cdot \frac{c}{d} = \frac{ac}{bd}$$ $$\frac{a}{b} \div \frac{c}{d} = \frac{a}{b} \cdot \frac{d}{c}$$

足し算と引き算でこれらの式が成り立つのは、$bd$ が共通分母になるからです。実際の宿題や問題では、数を小さく保てるので、最小公倍数を使った最小公分母を使うことがよくあります。

4つの計算を1つの例で確認

毎回同じ2つの分数を使います。

$$\frac{2}{3} \quad \text{and} \quad \frac{1}{4}$$

分数の足し算

$3$ と $4$ の最小公倍数は $12$ なので、両方の分数を次のように直します。

$$\frac{2}{3} = \frac{8}{12}$$ $$\frac{1}{4} = \frac{3}{12}$$

これで部分の大きさがそろいました。

$$\frac{2}{3} + \frac{1}{4} = \frac{8}{12} + \frac{3}{12} = \frac{11}{12}$$

分数の引き算

同じ共通分母を使います。

$$\frac{2}{3} - \frac{1}{4} = \frac{8}{12} - \frac{3}{12} = \frac{5}{12}$$

分数の掛け算

ここでは通分は必要ありません。

$$\frac{2}{3} \cdot \frac{1}{4} = \frac{2 \cdot 1}{3 \cdot 4} = \frac{2}{12} = \frac{1}{6}$$

分数の割り算

1つ目の分数はそのまま、2つ目をひっくり返して掛けます。

$$\frac{2}{3} \div \frac{1}{4} = \frac{2}{3} \cdot \frac{4}{1} = \frac{8}{3}$$

この答えが $1$ より大きいのは自然です。$\frac{1}{4}$ で割るということは、$\frac{2}{3}$ の中に4分の1の大きさの部分がいくつ入るかを考えているからです。

なぜ共通分母が大切なのか

足し算と引き算は、同じ大きさの量どうしを合わせたり比べたりする計算です。部分の大きさが違うと、分子だけを見ても全体はわかりません。

一方、掛け算と割り算は考え方が異なります。掛け算はある量を別の量で拡大・縮小し、割り算は一方の分数がもう一方に何回入るかを比べるので、共通分母を作ることが中心ではありません。

分数でよくあるミス

1. 分子と分母をそれぞれ足してしまうこと。一般に、$\frac{a}{b} + \frac{c}{d} \ne \frac{a+c}{b+d}$ です。
2. 掛け算や割り算でも通分してしまうこと。その手順は不要です。
3. 割り算で1つ目の分数をひっくり返してしまうこと。逆数にするのは2つ目の分数だけです。
4. 約分を忘れること。たとえば $\frac{2}{12}$ を $\frac{1}{6}$ にしないままにすることです。
5. 0の分数で割ること。$\frac{a}{b} \div \frac{0}{d}$ は定義されません。

分数の計算を使う場面

分数の計算は、長さや重さなどの測定、レシピ、割合、確率、代数、そして全体の一部を扱うあらゆる問題で使います。

どの計算を使うかは、問題の内容によって決まります。

• 量を合わせたり比べたりするときは足し算・引き算
• 分数の分数を求めるときは掛け算
• いくつ分入るか、または一方の分数がもう一方に対してどれくらいかを知りたいときは割り算

似た問題に挑戦

$\frac{3}{5}$ と $\frac{2}{15}$ を使って、同じ4つの計算をしてみましょう。自分で解いたあとに式の立て方を確認したいなら、計算ツールを使って、その計算で必要なときだけ通分できていたかを確かめるのも役立ちます。