Brüche — Addieren, Subtrahieren, Multiplizieren, Dividieren

Um Brüche zu addieren und zu subtrahieren, musst du zuerst die Nenner gleichnamig machen. Um Brüche zu multiplizieren, multiplizierst du einfach Zähler mal Zähler und Nenner mal Nenner. Um Brüche zu dividieren, multiplizierst du mit dem Kehrwert des zweiten Bruchs.

Das ist schon die ganze Grundidee, aber eine Bedingung ist wichtig: Der zweite Bruch in einer Divisionsaufgabe darf nicht $0$ sein. Wäre er $0$, dann gäbe es keinen Kehrwert und die Division wäre nicht definiert.

Was ein Bruch bedeutet

Ein Bruch $\frac{a}{b}$ bedeutet $a$ Teile der Größe $\frac{1}{b}$, wobei $b \ne 0$ gilt. Der Zähler gibt an, wie viele Teile du hast, und der Nenner sagt dir, wie groß jedes Teil ist.

Deshalb ist $\frac{1}{2} + \frac{1}{3}$ nicht gleich $\frac{2}{5}$. Hälften und Drittel sind unterschiedlich große Teile, also musst du sie vor dem Addieren zuerst in dieselbe Einheit umschreiben.

Bruchregeln im Überblick

Für $b \ne 0$, $d \ne 0$ und $c \ne 0$ in der Divisionsregel gilt:

$$\frac{a}{b} + \frac{c}{d} = \frac{ad + bc}{bd}$$ $$\frac{a}{b} - \frac{c}{d} = \frac{ad - bc}{bd}$$ $$\frac{a}{b} \cdot \frac{c}{d} = \frac{ac}{bd}$$ $$\frac{a}{b} \div \frac{c}{d} = \frac{a}{b} \cdot \frac{d}{c}$$

Beim Addieren und Subtrahieren funktionieren diese Formeln, weil $bd$ ein gemeinsamer Nenner ist. In Hausaufgaben verwendet man aber oft den kleinsten gemeinsamen Nenner, weil die Zahlen dann kleiner bleiben.

Ein durchgerechnetes Beispiel für alle vier Rechenarten

Verwende jedes Mal dasselbe Zahlenpaar:

$$\frac{2}{3} \quad \text{and} \quad \frac{1}{4}$$

Brüche addieren

Der kleinste gemeinsame Nenner von $3$ und $4$ ist $12$, also schreiben wir beide Brüche um:

$$\frac{2}{3} = \frac{8}{12}$$ $$\frac{1}{4} = \frac{3}{12}$$

Jetzt passen die Teile zusammen:

$$\frac{2}{3} + \frac{1}{4} = \frac{8}{12} + \frac{3}{12} = \frac{11}{12}$$

Brüche subtrahieren

Verwende denselben gemeinsamen Nenner:

$$\frac{2}{3} - \frac{1}{4} = \frac{8}{12} - \frac{3}{12} = \frac{5}{12}$$

Brüche multiplizieren

Hier brauchst du keinen gemeinsamen Nenner:

$$\frac{2}{3} \cdot \frac{1}{4} = \frac{2 \cdot 1}{3 \cdot 4} = \frac{2}{12} = \frac{1}{6}$$

Brüche dividieren

Lass den ersten Bruch stehen, kehre den zweiten um und multipliziere:

$$\frac{2}{3} \div \frac{1}{4} = \frac{2}{3} \cdot \frac{4}{1} = \frac{8}{3}$$

Diese Antwort ist größer als $1$, und das ergibt Sinn. Durch $\frac{1}{4}$ zu teilen bedeutet zu fragen, wie viele viertelgroße Teile in $\frac{2}{3}$ hineinpassen.

Warum gemeinsame Nenner wichtig sind

Beim Addieren und Subtrahieren werden Mengen derselben Größe zusammengefasst. Wenn die Teile unterschiedlich groß sind, sagen die Zähler allein nicht alles aus.

Bei Multiplikation und Division ist das anders. Multiplikation skaliert eine Menge mit einer anderen, und Division vergleicht, wie oft ein Bruch in einen anderen hineinpasst. Deshalb ist ein gemeinsamer Nenner dort nicht der entscheidende Schritt.

Häufige Fehler bei Brüchen

1. Zähler und Nenner einfach beide addieren. Allgemein gilt: $\frac{a}{b} + \frac{c}{d} \ne \frac{a+c}{b+d}$.
2. Beim Multiplizieren oder Dividieren einen gemeinsamen Nenner suchen. Dieser zusätzliche Schritt ist nicht nötig.
3. Beim Dividieren den ersten Bruch umdrehen. Nur der zweite Bruch wird invertiert.
4. Das Kürzen vergessen, zum Beispiel $\frac{2}{12}$ statt $\frac{1}{6}$ stehen lassen.
5. Durch einen Nullbruch teilen. $\frac{a}{b} \div \frac{0}{d}$ ist nicht definiert.

Wann Schülerinnen und Schüler Bruchrechnen verwenden

Bruchrechnen brauchst du bei Maßen, Rezepten, Raten, Wahrscheinlichkeiten, in der Algebra und in allen Aufgaben, in denen Größen Teile eines Ganzen sind.

Welche Rechenart du wählst, hängt von der Frage ab:

• Addiere oder subtrahiere, wenn du Mengen zusammenfasst oder vergleichst.
• Multipliziere, wenn du einen Bruchteil von einem Bruchteil brauchst.
• Dividiere, wenn du wissen willst, wie viele Gruppen hineinpassen oder wie ein Bruch im Verhältnis zu einem anderen steht.

Probiere eine ähnliche Aufgabe

Probiere dieselben vier Rechenarten mit $\frac{3}{5}$ und $\frac{2}{15}$ aus. Wenn du deinen Ansatz nach dem eigenen Rechnen überprüfen möchtest, kann dir ein Mathe-Löser helfen zu kontrollieren, ob du die Nenner nur dann gleichnamig gemacht hast, wenn die Rechenart es verlangt.