Frações — somar, subtrair, multiplicar e dividir

Para somar e subtrair frações, primeiro faça os denominadores ficarem iguais. Para multiplicar frações, multiplique em linha reta. Para dividir frações, multiplique pelo inverso da segunda fração.

Essa é a ideia toda, mas uma condição importa: a segunda fração em um problema de divisão não pode ser $0$. Se fosse $0$, o inverso não existiria e a divisão seria indefinida.

O que uma fração significa

Uma fração $\frac{a}{b}$ representa $a$ partes de tamanho $\frac{1}{b}$, com $b \ne 0$. O numerador conta quantas partes você tem, e o denominador indica o tamanho de cada parte.

É por isso que $\frac{1}{2} + \frac{1}{3}$ não é $\frac{2}{5}$. Metades e terços são partes de tamanhos diferentes, então você precisa reescrevê-las na mesma unidade antes de somar.

Regras das frações em resumo

Para $b \ne 0$, $d \ne 0$ e $c \ne 0$ na regra da divisão:

$$\frac{a}{b} + \frac{c}{d} = \frac{ad + bc}{bd}$$ $$\frac{a}{b} - \frac{c}{d} = \frac{ad - bc}{bd}$$ $$\frac{a}{b} \cdot \frac{c}{d} = \frac{ac}{bd}$$ $$\frac{a}{b} \div \frac{c}{d} = \frac{a}{b} \cdot \frac{d}{c}$$

Na adição e na subtração, essas fórmulas funcionam porque $bd$ é um denominador comum. Em exercícios, muitas vezes você usa o mínimo denominador comum porque isso mantém os números menores.

Um exemplo resolvido para as quatro operações

Use o mesmo par em todos os casos:

$$\frac{2}{3} \quad \text{and} \quad \frac{1}{4}$$

Somar frações

O mínimo denominador comum de $3$ e $4$ é $12$, então reescreva as duas frações:

$$\frac{2}{3} = \frac{8}{12}$$ $$\frac{1}{4} = \frac{3}{12}$$

Agora as partes têm o mesmo tamanho:

$$\frac{2}{3} + \frac{1}{4} = \frac{8}{12} + \frac{3}{12} = \frac{11}{12}$$

Subtrair frações

Use o mesmo denominador comum:

$$\frac{2}{3} - \frac{1}{4} = \frac{8}{12} - \frac{3}{12} = \frac{5}{12}$$

Multiplicar frações

Aqui não há necessidade de um denominador comum:

$$\frac{2}{3} \cdot \frac{1}{4} = \frac{2 \cdot 1}{3 \cdot 4} = \frac{2}{12} = \frac{1}{6}$$

Dividir frações

Mantenha a primeira fração, inverta a segunda e multiplique:

$$\frac{2}{3} \div \frac{1}{4} = \frac{2}{3} \cdot \frac{4}{1} = \frac{8}{3}$$

Essa resposta é maior que $1$, o que faz sentido. Dividir por $\frac{1}{4}$ pergunta quantas partes de tamanho um quarto cabem em $\frac{2}{3}$.

Por que denominadores comuns importam

Adição e subtração juntam quantidades do mesmo tamanho. Se as partes têm tamanhos diferentes, só os numeradores não contam toda a história.

Multiplicação e divisão são diferentes. A multiplicação escala uma quantidade pela outra, e a divisão compara quantas vezes uma fração cabe em outra, então um denominador comum não é o passo principal nesses casos.

Erros comuns com frações

1. Somar numeradores e denominadores ao mesmo tempo. Em geral, $\frac{a}{b} + \frac{c}{d} \ne \frac{a+c}{b+d}$.
2. Procurar um denominador comum ao multiplicar ou dividir. Esse passo extra não é necessário.
3. Inverter a primeira fração na divisão. Apenas a segunda fração é invertida.
4. Esquecer de simplificar, como deixar $\frac{2}{12}$ em vez de $\frac{1}{6}$.
5. Dividir por uma fração zero. $\frac{a}{b} \div \frac{0}{d}$ é indefinido.

Quando os alunos usam operações com frações

Você usa operações com frações em medidas, receitas, taxas, probabilidade, álgebra e em qualquer problema em que as quantidades sejam partes de um todo.

A escolha da operação depende da pergunta:

• Some ou subtraia quando estiver juntando ou comparando quantidades.
• Multiplique quando precisar de uma fração de outra fração.
• Divida quando quiser saber quantos grupos cabem ou qual é a relação de uma fração com outra.

Tente um problema parecido

Tente as mesmas quatro operações com $\frac{3}{5}$ e $\frac{2}{15}$. Se quiser conferir a montagem depois de resolver sozinho, um solucionador de matemática pode ajudar a verificar se você igualou os denominadores apenas quando a operação exigia isso.