Frazioni — sommare, sottrarre, moltiplicare, dividere

Per sommare e sottrarre frazioni, fai prima in modo che i denominatori coincidano. Per moltiplicare frazioni, moltiplica in linea retta. Per dividere frazioni, moltiplica per il reciproco della seconda frazione.

Questa è l'idea generale, ma c'è una condizione importante: la seconda frazione in una divisione non può essere $0$. Se fosse $0$, il reciproco non esisterebbe e la divisione non sarebbe definita.

Che cosa significa una frazione

Una frazione $\frac{a}{b}$ indica $a$ parti di ampiezza $\frac{1}{b}$, con $b \ne 0$. Il numeratore conta quante parti hai, e il denominatore indica la dimensione di ciascuna parte.

Per questo $\frac{1}{2} + \frac{1}{3}$ non è $\frac{2}{5}$. Metà e terzi sono pezzi di dimensioni diverse, quindi prima di sommarli devi riscriverli nella stessa unità.

Regole delle frazioni a colpo d'occhio

Per $b \ne 0$, $d \ne 0$ e $c \ne 0$ nella regola della divisione:

$$\frac{a}{b} + \frac{c}{d} = \frac{ad + bc}{bd}$$ $$\frac{a}{b} - \frac{c}{d} = \frac{ad - bc}{bd}$$ $$\frac{a}{b} \cdot \frac{c}{d} = \frac{ac}{bd}$$ $$\frac{a}{b} \div \frac{c}{d} = \frac{a}{b} \cdot \frac{d}{c}$$

Per addizione e sottrazione, queste formule funzionano perché $bd$ è un denominatore comune. Nei compiti, però, spesso si usa il minimo comune denominatore perché mantiene i numeri più piccoli.

Un esempio svolto per tutte e quattro le operazioni

Usa ogni volta la stessa coppia:

$$\frac{2}{3} \quad \text{and} \quad \frac{1}{4}$$

Sommare frazioni

Il minimo comune denominatore di $3$ e $4$ è $12$, quindi riscrivi entrambe le frazioni:

$$\frac{2}{3} = \frac{8}{12}$$ $$\frac{1}{4} = \frac{3}{12}$$

Ora le parti hanno la stessa dimensione:

$$\frac{2}{3} + \frac{1}{4} = \frac{8}{12} + \frac{3}{12} = \frac{11}{12}$$

Sottrarre frazioni

Usa lo stesso denominatore comune:

$$\frac{2}{3} - \frac{1}{4} = \frac{8}{12} - \frac{3}{12} = \frac{5}{12}$$

Moltiplicare frazioni

Qui non serve un denominatore comune:

$$\frac{2}{3} \cdot \frac{1}{4} = \frac{2 \cdot 1}{3 \cdot 4} = \frac{2}{12} = \frac{1}{6}$$

Dividere frazioni

Mantieni la prima frazione, capovolgi la seconda e moltiplica:

$$\frac{2}{3} \div \frac{1}{4} = \frac{2}{3} \cdot \frac{4}{1} = \frac{8}{3}$$

Questa risposta è maggiore di $1$, e ha senso. Dividere per $\frac{1}{4}$ significa chiedersi quanti pezzi grandi un quarto stanno in $\frac{2}{3}$.

Perché i denominatori comuni sono importanti

Addizione e sottrazione combinano quantità della stessa dimensione. Se i pezzi hanno dimensioni diverse, i soli numeratori non raccontano tutta la situazione.

Moltiplicazione e divisione sono diverse. La moltiplicazione scala una quantità con un'altra, e la divisione confronta quante volte una frazione entra in un'altra, quindi il denominatore comune non è il passaggio chiave.

Errori comuni con le frazioni

1. Sommare sia i numeratori sia i denominatori. In generale, $\frac{a}{b} + \frac{c}{d} \ne \frac{a+c}{b+d}$.
2. Cercare un denominatore comune quando si moltiplica o si divide. Questo passaggio in più non serve.
3. Capovolgere la prima frazione nella divisione. Solo la seconda frazione va invertita.
4. Dimenticare di semplificare, per esempio lasciare $\frac{2}{12}$ invece di $\frac{1}{6}$.
5. Dividere per una frazione nulla. $\frac{a}{b} \div \frac{0}{d}$ non è definito.

Quando gli studenti usano le operazioni con le frazioni

Le operazioni con le frazioni si usano nelle misure, nelle ricette, nei rapporti, nella probabilità, nell'algebra e in qualsiasi problema in cui le quantità siano parti di un intero.

La scelta dell'operazione dipende dalla domanda:

• Somma o sottrai quando stai unendo o confrontando quantità.
• Moltiplica quando ti serve una frazione di una frazione.
• Dividi quando vuoi sapere quanti gruppi ci stanno o che rapporto c'è tra una frazione e un'altra.

Prova un esercizio simile

Prova le stesse quattro operazioni con $\frac{3}{5}$ e $\frac{2}{15}$. Se vuoi controllare l'impostazione dopo averlo risolto da solo, un risolutore matematico può aiutarti a verificare se hai reso uguali i denominatori solo quando l'operazione lo richiedeva.