Addition de fractions — dénominateurs identiques et différents

Additionner des fractions consiste à réunir des parts d’un même tout. Si les dénominateurs sont déjà identiques, on additionne les numérateurs et on conserve le dénominateur. Si les dénominateurs sont différents, il faut d’abord réécrire les fractions avec un dénominateur commun.

La règle de base est

$$\frac{a}{b} + \frac{c}{b} = \frac{a+c}{b}$$

mais elle ne fonctionne que lorsque les deux fractions comptent des parts de même taille. Vous pouvez additionner $\frac{2}{7}$ et $\frac{3}{7}$ directement, car ce sont deux fractions en septièmes. Vous ne pouvez pas additionner $\frac{1}{3}$ et $\frac{1}{4}$ tant que vous ne les avez pas réécrites dans la même unité.

Comment additionner des fractions avec le même dénominateur

Les fractions de même dénominateur sont déjà exprimées dans la même unité, donc l’addition est directe.

Par exemple,

$$\frac{2}{7} + \frac{3}{7} = \frac{5}{7}.$$

Le dénominateur reste $7$ parce que la taille de chaque part n’a pas changé. Vous comptez seulement combien de septièmes il y a au total.

Comment additionner des fractions avec des dénominateurs différents

Lorsque les dénominateurs sont différents, il faut d’abord réécrire les fractions pour qu’elles aient le même dénominateur. Le plus petit dénominateur commun est souvent le choix le plus simple, car il permet de garder des nombres plus petits.

Pour $\frac{1}{3} + \frac{1}{4}$, un dénominateur commun est $12$ :

$$\frac{1}{3} = \frac{4}{12}, \qquad \frac{1}{4} = \frac{3}{12}.$$

Les deux fractions sont maintenant écrites en douzièmes, donc l’addition est valable :

$$\frac{4}{12} + \frac{3}{12} = \frac{7}{12}.$$

C’est l’idée essentielle : vous ne changez pas la quantité. Vous changez l’unité pour que les deux fractions décrivent des parts de même taille.

Exemple résolu : $\frac{3}{8} + \frac{1}{6}$

Les dénominateurs sont différents, donc il ne faut pas additionner $3+1$ et $8+6$. Commencez par trouver un dénominateur commun.

Le plus petit multiple commun de $8$ et $6$ est $24$, donc on réécrit les deux fractions en vingt-quatrièmes :

$$\frac{3}{8} = \frac{9}{24}, \qquad \frac{1}{6} = \frac{4}{24}.$$

Additionnez maintenant les numérateurs :

$$\frac{9}{24} + \frac{4}{24} = \frac{13}{24}.$$

Comme $13$ et $24$ n’ont aucun facteur commun supérieur à $1$, $\frac{13}{24}$ est déjà simplifiée. Donc

$$\frac{3}{8} + \frac{1}{6} = \frac{13}{24}.$$

Erreurs fréquentes quand on additionne des fractions

Une erreur fréquente consiste à additionner à la fois les numérateurs et les dénominateurs, comme dans

$$\frac{1}{3} + \frac{1}{4} = \frac{2}{7}.$$

Ce n’est pas valable, car les tiers et les quarts sont des parts de tailles différentes.

Une autre erreur consiste à changer le dénominateur sans changer le numérateur de façon à conserver une fraction équivalente. Si vous réécrivez $\frac{1}{3}$ en douzièmes, cela donne $\frac{4}{12}$, et non $\frac{1}{12}$.

Une troisième erreur consiste à oublier de simplifier lorsque le résultat peut être réduit. Par exemple,

$$\frac{2}{6} + \frac{1}{6} = \frac{3}{6} = \frac{1}{2}.$$

Dans quels cas utilise-t-on l’addition de fractions ?

L’addition de fractions apparaît chaque fois que l’on réunit des parts d’un même tout. On la rencontre souvent dans les recettes, les mesures, les probabilités et les exercices d’algèbre avec des expressions rationnelles.

La même idée de dénominateur commun est aussi utilisée pour la soustraction de fractions. Une fois cette idée bien comprise, il devient beaucoup plus facile de vérifier les deux opérations.

Essayez un exercice similaire

Essayez $\frac{5}{12} + \frac{1}{8}$ par vous-même. Trouvez un dénominateur commun, réécrivez les deux fractions, puis simplifiez le résultat si possible.