Phân số — Cộng, Trừ, Nhân, Chia

Để cộng và trừ phân số, trước hết hãy đưa các mẫu số về giống nhau. Để nhân phân số, nhân theo hàng ngang. Để chia phân số, hãy nhân với phân số nghịch đảo của phân số thứ hai.

Đó là toàn bộ ý tưởng, nhưng có một điều kiện quan trọng: phân số thứ hai trong phép chia không được bằng $0$. Nếu nó bằng $0$, phân số nghịch đảo sẽ không tồn tại và phép chia sẽ không xác định.

Phân Số Có Nghĩa Là Gì

Phân số $\frac{a}{b}$ biểu thị $a$ phần, mỗi phần có kích thước $\frac{1}{b}$, với $b \ne 0$. Tử số cho biết bạn có bao nhiêu phần, còn mẫu số cho biết kích thước của mỗi phần.

Đó là lý do vì sao $\frac{1}{2} + \frac{1}{3}$ không phải là $\frac{2}{5}$. Một nửa và một phần ba là những phần có kích thước khác nhau, nên bạn phải viết lại chúng theo cùng một đơn vị trước khi cộng.

Quy Tắc Phân Số Trong Một Cái Nhìn

Với $b \ne 0$, $d \ne 0$, và $c \ne 0$ trong quy tắc chia:

$$\frac{a}{b} + \frac{c}{d} = \frac{ad + bc}{bd}$$ $$\frac{a}{b} - \frac{c}{d} = \frac{ad - bc}{bd}$$ $$\frac{a}{b} \cdot \frac{c}{d} = \frac{ac}{bd}$$ $$\frac{a}{b} \div \frac{c}{d} = \frac{a}{b} \cdot \frac{d}{c}$$

Với phép cộng và phép trừ, các công thức này đúng vì $bd$ là một mẫu số chung. Trong bài tập thực tế, bạn thường dùng mẫu số chung nhỏ nhất vì nó giúp các con số gọn hơn.

Một Ví Dụ Cho Cả Bốn Phép Tính

Mỗi lần đều dùng cùng một cặp:

$$\frac{2}{3} \quad \text{and} \quad \frac{1}{4}$$

Cộng Phân Số

Mẫu số chung nhỏ nhất của $3$ và $4$ là $12$, nên viết lại cả hai phân số:

$$\frac{2}{3} = \frac{8}{12}$$ $$\frac{1}{4} = \frac{3}{12}$$

Bây giờ các phần đã cùng đơn vị:

$$\frac{2}{3} + \frac{1}{4} = \frac{8}{12} + \frac{3}{12} = \frac{11}{12}$$

Trừ Phân Số

Dùng cùng mẫu số chung đó:

$$\frac{2}{3} - \frac{1}{4} = \frac{8}{12} - \frac{3}{12} = \frac{5}{12}$$

Nhân Phân Số

Ở đây không cần mẫu số chung:

$$\frac{2}{3} \cdot \frac{1}{4} = \frac{2 \cdot 1}{3 \cdot 4} = \frac{2}{12} = \frac{1}{6}$$

Chia Phân Số

Giữ nguyên phân số thứ nhất, đảo phân số thứ hai rồi nhân:

$$\frac{2}{3} \div \frac{1}{4} = \frac{2}{3} \cdot \frac{4}{1} = \frac{8}{3}$$

Đáp án này lớn hơn $1$, và điều đó hợp lý. Chia cho $\frac{1}{4}$ là hỏi có bao nhiêu phần có kích thước một phần tư chứa trong $\frac{2}{3}$.

Vì Sao Mẫu Số Chung Quan Trọng

Phép cộng và phép trừ gộp các lượng có cùng kích thước. Nếu các phần có kích thước khác nhau, chỉ nhìn vào tử số thì chưa đủ.

Phép nhân và phép chia thì khác. Phép nhân làm thay đổi tỉ lệ của một lượng theo lượng khác, còn phép chia so sánh xem một phân số chứa trong phân số kia bao nhiêu lần, nên mẫu số chung không phải là bước then chốt ở đó.

Những Lỗi Thường Gặp Với Phân Số

1. Cộng cả tử số lẫn mẫu số. Nói chung, $\frac{a}{b} + \frac{c}{d} \ne \frac{a+c}{b+d}$.
2. Tìm mẫu số chung khi nhân hoặc chia. Bước thêm đó là không cần thiết.
3. Đảo phân số thứ nhất khi chia. Chỉ phân số thứ hai mới được đảo.
4. Quên rút gọn, chẳng hạn để $\frac{2}{12}$ thay vì $\frac{1}{6}$.
5. Chia cho phân số bằng 0. $\frac{a}{b} \div \frac{0}{d}$ là không xác định.

Khi Nào Học Sinh Dùng Các Phép Tính Với Phân Số

Bạn dùng các phép tính với phân số trong đo lường, công thức nấu ăn, tỉ lệ, xác suất, đại số và mọi bài toán mà đại lượng là một phần của tổng thể.

Việc chọn phép tính phụ thuộc vào câu hỏi:

• Cộng hoặc trừ khi bạn đang gộp hoặc so sánh các lượng.
• Nhân khi bạn cần tìm một phân số của một phân số.
• Chia khi bạn muốn biết có bao nhiêu nhóm phù hợp hoặc một phân số so với phân số khác như thế nào.

Thử Một Bài Tương Tự

Hãy thử cùng bốn phép tính với $\frac{3}{5}$ và $\frac{2}{15}$. Nếu bạn muốn kiểm tra cách thiết lập sau khi tự giải, một công cụ giải toán có thể giúp bạn xác minh xem bạn chỉ quy đồng mẫu khi phép tính thực sự yêu cầu hay chưa.