分数——加、减、乘、除

分数做加减法时，先让分母相同。分数做乘法时，直接对应相乘。分数做除法时，乘以第二个分数的倒数。

这就是核心思路，但有一个条件很重要：除法题中的第二个分数不能是 $0$。如果它是 $0$，那么倒数就不存在，除法也没有定义。

分数表示什么

分数 $\frac{a}{b}$ 表示 $a$ 个大小为 $\frac{1}{b}$ 的部分，其中 $b \ne 0$。分子表示你有多少份，分母表示每一份的大小。

这就是为什么 $\frac{1}{2} + \frac{1}{3}$ 不是 $\frac{2}{5}$。二分之一和三分之一的每一份大小不同，所以相加前必须先改写成相同单位。

分数运算规则速览

当 $b \ne 0$、$d \ne 0$，并且在除法公式中 $c \ne 0$ 时：

$$\frac{a}{b} + \frac{c}{d} = \frac{ad + bc}{bd}$$ $$\frac{a}{b} - \frac{c}{d} = \frac{ad - bc}{bd}$$ $$\frac{a}{b} \cdot \frac{c}{d} = \frac{ac}{bd}$$ $$\frac{a}{b} \div \frac{c}{d} = \frac{a}{b} \cdot \frac{d}{c}$$

对于加法和减法，这些公式成立是因为 $bd$ 是一个公分母。实际做作业时，你通常会用最小公分母，因为这样数字会更小，更方便计算。

用同一组分数演示四种运算

每次都用这两个分数：

$$\frac{2}{3} \quad \text{and} \quad \frac{1}{4}$$

分数加法

$3$ 和 $4$ 的最小公分母是 $12$，所以先把两个分数改写：

$$\frac{2}{3} = \frac{8}{12}$$ $$\frac{1}{4} = \frac{3}{12}$$

现在每一份的大小相同了：

$$\frac{2}{3} + \frac{1}{4} = \frac{8}{12} + \frac{3}{12} = \frac{11}{12}$$

分数减法

使用同一个公分母：

$$\frac{2}{3} - \frac{1}{4} = \frac{8}{12} - \frac{3}{12} = \frac{5}{12}$$

分数乘法

这里不需要公分母：

$$\frac{2}{3} \cdot \frac{1}{4} = \frac{2 \cdot 1}{3 \cdot 4} = \frac{2}{12} = \frac{1}{6}$$

分数除法

保留第一个分数，把第二个分数颠倒过来，再相乘：

$$\frac{2}{3} \div \frac{1}{4} = \frac{2}{3} \cdot \frac{4}{1} = \frac{8}{3}$$

这个答案大于 $1$，这是合理的。因为用 $\frac{1}{4}$ 去除，就是在问：$\frac{2}{3}$ 里面能装下多少个四分之一。

为什么公分母很重要

加法和减法是在合并相同大小的量。如果每一份大小不同，只看分子并不能说明全部情况。

乘法和除法则不同。乘法表示一个量按另一个量进行缩放，除法表示一个分数里能包含另一个分数多少次，所以公分母不是这里的关键步骤。

分数运算中的常见错误

1. 分子和分母都直接相加。一般来说，$\frac{a}{b} + \frac{c}{d} \ne \frac{a+c}{b+d}$。
2. 做乘法或除法时去找公分母。这个额外步骤并不需要。
3. 做除法时把第一个分数颠倒。只有第二个分数需要取倒数。
4. 忘记化简，比如把 $\frac{2}{12}$ 保留不变，而不是化成 $\frac{1}{6}$。
5. 用零分数作除数。$\frac{a}{b} \div \frac{0}{d}$ 没有定义。

学生什么时候会用到分数运算

在测量、食谱、比率、概率、代数，以及任何“量是整体的一部分”的问题中，你都会用到分数运算。

选择哪种运算，取决于题目在问什么：

• 当你要合并或比较数量时，用加法或减法。
• 当你要求“一个分数的几分之几”时，用乘法。
• 当你想知道能分成多少组，或一个分数相对于另一个分数是多少时，用除法。

试一道类似的题

试着用 $\frac{3}{5}$ 和 $\frac{2}{15}$ 做同样的四种运算。如果你想在自己做完后检查列式是否正确，数学求解工具可以帮助你验证：你是否只在需要的时候才通分。